Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 121^х + (3а^2-а+4) * 11^х - 5а -2=0 имеет единственный корень

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 + (3a^2 - a + 4)t - 5a - 2$. Тогда исходное уравнение имеет вид: $f(11^x) = 0$.

Заметим, что любой положительный корень уравнения $f(t) = 0$ однозначно определяет корень уравнения $f(11^x) = 0$ (это верно в силу того, что уравнение $11^x = t$ (относительно $x$) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.

При каких значениях параметра $a$, уравнение $f(t)=0$ имеет ровно один положительный корень?

График $y = f(t)$ представляет собой параболу с ветвями вверх.

Исследуем местоположение ее вершины.

$t_v = - \frac{3a^2-a+4}{2}$.

Заметим, что при любом значении параметра $a$, $t_v < 0$ (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.

Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: $f(0) < 0$.

Тогда имеем $-5a - 2 < 0 \Leftrightarrow a > -0,4$.

Ответ: $a \in (-0,4; +\infty)$.

Answer 2

Данное уравнение имеет вид:

121^х + (3а^2 - а + 4) * 11^х - 5а - 2 = 0.

Чтобы уравнение имело единственный корень, это означает, что его график должен пересекать ось x только в одной точке. График уравнения будет иметь форму параболы, так как степени x присутствуют только в положительных целых степенях.

Для того чтобы определить значения параметра а, при которых график пересекает ось x только в одной точке, нужно проанализировать дискриминант квадратного трехчлена, который задается уравнением вида:

ax^2 + bx + c = 0.

Дискриминант D вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

Если D > 0, то у уравнения два различных корня. Если D = 0, то у уравнения один корень кратности 2. Если D < 0, то у уравнения два комплексных корня.

В данном случае, у нас есть следующее уравнение:

(3а^2 - а + 4)^2 - 4 * 121 * (5а + 2) = 0.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

9a^4 - 6a^3 + (16 - 484) * a^2 + (8 - 242) * a + 16 - 484 = 0, 9a^4 - 6a^3 - 468a^2 - 234a - 468 = 0.

Теперь нам нужно найти значения параметра а, при которых дискриминант этого уравнения D > 0, чтобы уравнение имело два различных корня.

Вычислим дискриминант D:

D = (-6a^3)^2 - 4 * 9a^4 * (-468a^2 - 234a - 468), D = 36a^6 - 4 * 9a^4 * (-468a^2 - 234a - 468), D = 36a^6 + 36 * 9a^6 * (468a^2 + 234a + 468), D = 36a^6 + 16848a^8 + 8424a^7 + 16848a^6, D = 16848a^8 + 8424a^7 + 16884a^6.

Таким образом, чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант D был положителен:

16848a^8 + 8424a^7 + 16884a^6 > 0.

Это уравнение представляет собой полином восьмой степени, и его аналитическое решение может быть довольно сложным. Мы можем попробовать решить его численно или графически, чтобы найти значения параметра а, удовлетворяющие данному неравенству.