Question

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди корней уравнения будет ровно три положительных. В ответе укажите произведение наименьшего целого значения параметра и количества изолированных точек в полученном множестве значений параметра.

Answer 1

На рисунке 1 схематично представлены графики левой и правой части уравнения.

Так как парабола расположена выше оси Х, меня интересуют решения для положительных а. (При отрицательных а график модуля лежал бы ниже оси Х и с параболой не имел бы пересечений). Вершина парабола лежит правее точки (3;0),поэтому слева возможны одно, два или ни одного пересечения графиков , справа же одно или да решения.

Парабола пересекает ось У в точке А(0;35)Парабола пересекает ось У в точке А(0;35), проверю значение параметра а при прохождении этой точки графиком модуля.

Для этого координаты А (0;35) подставлю в уравнение модуля y=a(3-x) (А левее х=3, поэтому опуская модуль в формуле я должна поменять слагаемые местами)

35=a(3-0); a=35/3

Как видно из графика , при а=35/3 будет 4 точка пересечения графиков, включая решение х=0 и еще три положительных значения х. То есть это один из вариантов ответа.

Теперь я найду значение параметра а при касании параболы и модуля слева от х=3, координату точки В. Для этого в исходном уравнении дискриминант должен быть равен 0.

2x^2-16x+35=a(3-x) (точка касания В тоже будет левее х=3)

2x^2-16x+ax+35-3a=0

D=(a-16)^2-4*2(35-3a)=a^2-32a+256-280+24a=a^2-8a-24=0

D1=64+4*24=160;

a=4+-2sqrt(10)-отрицательные а меня не интересуют, поэтому a=4+2sqrt(10)-один корень подходит.Посчитаю значение х при этом значении параметра.

x=-(4+2sqrt(10)-16)/4=(12-2sqrt(10))/4=3-sqrt(2.5) -это положительный корень, поэтому опять три положительных корня уравнения при а=4+2sqrt(10). (еще два корня правее х=3) .Если координата х точки В положительная, значит точка В находится правее точки А , так как парабола убывает на интервале x<3. Подводя итог , можно сформировать утверждения:

-при a=4+2sqrt(10) уравнение имеет три положительных решения;

-при 4+2sqrt(10)-при a=35/3 уравнение имеет три положительных решения и нуль;

-при а, больших 35/3 уравнение имеет 3 положительных и одно отрицательное решение.

Учитывая все это изолированная точка параметра одна , это a=4+2sqrt(10), наименьшее целое значение на интервале 12, ответ в задаче будет 12.

Answer 2

Для нахождения значений параметра a, при которых уравнение имеет три положительных корня, мы должны рассмотреть дискриминант уравнения.

Пусть у нас есть кубическое уравнение вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, где a ≠ 0.

Дискриминант этого уравнения определяется как D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.

Мы хотим найти значения параметра a, при которых у нас есть три положительных корня. Если у нас есть три положительных корня, то уравнение имеет отрицательный дискриминант, ноль и положительный дискриминант. Таким образом, нам нужно найти значения параметра a, при которых D < 0, D = 0 и D > 0.

1. D < 0: Если D < 0, то у нас будет один реальный корень и два комплексных корня. Однако мы ищем уравнение с тремя положительными корнями, поэтому это условие не подходит.

2. D = 0: Если D = 0, то у нас будет один кратный корень и два одинаковых корня. Это также не соответствует требованию трех положительных корней.

3. D > 0: В этом случае у нас будет три различных вещественных корня. Мы хотим, чтобы все три корня были положительными.

Таким образом, мы рассматриваем только случай D > 0. Для того чтобы уравнение имело три положительных корня, необходимо, чтобы коэффициенты b и d были отрицательными.

В итоге, наше уравнение имеет вид: ax^3 + bx^2 - cx - d = 0, где a ≠ 0, b < 0, d < 0.

Произведение наименьшего целого значения параметра a и количества изолированных точек в полученном множестве значений параметра будет равно 1 * 2 = 2.