Question

Докажите тождества1. sin^4 а/2 − cos^4 а/2 = − cos а2. 4sin^4а + sin^22а = 4sin^2а

Answer 1

Второе не знаю,но первое точно

Answer 2

Давайте докажем данные тождества поочередно:

1. sin^4(a/2) - cos^4(a/2) = -cos(a)

Начнем с левой стороны:

sin^4(a/2) - cos^4(a/2)

Применим формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

(sin^2(a/2) + cos^2(a/2))(sin^2(a/2) - cos^2(a/2))

С учетом тригонометрической идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - cos^2(a/2) - cos^2(a/2)

1 - 2cos^2(a/2)

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: cos^2(a/2) = (1 + cos(a))/2

1 - 2(1 + cos(a))/2

1 - (1 + cos(a))

1 - 1 - cos(a)

-cos(a)

Таким образом, левая сторона равенства sin^4(a/2) - cos^4(a/2) действительно равна -cos(a), что и требовалось доказать.

2. 4sin^4(a) + sin^2(2a) = 4sin^2(a)

Начнем с левой стороны:

4sin^4(a) + sin^2(2a)

Сначала представим sin^2(2a) через тригонометрические идентичности:

sin^2(2a) = (1 - cos(4a))/2

Теперь подставим это значение:

4sin^4(a) + (1 - cos(4a))/2

Умножим sin^4(a) на 4 и раскроем скобки:

4sin^4(a) + 1/2 - cos(4a)/2

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью: 2sin^2(x) = 1 - cos(2x)

4sin^4(a) + 1/2 - 2sin^2(2a)

Подставим значение sin^2(2a):

4sin^4(a) + 1/2 - 2(1 - cos(4a))/2

Упростим:

4sin^4(a) + 1/2 - (2 - 2cos(4a))/2

4sin^4(a) + 1/2 - 1 + cos(4a)

4sin^4(a) - 1/2 + cos(4a)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса удвоенного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

cos(4a) = 2cos^2(2a) - 1

Подставим это значение:

4sin^4(a) - 1/2 + 2cos^2(2a) - 1

4sin^4(a) + 2cos^2(2a) - 3/2

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью: 1 - cos(2x) = sin^2(x)

2cos^2(2a) = 2(1 - sin^2(2a))

Подставим это значение:

4sin^4(a) + 2(1 - sin^2(2a)) - 3/2

4sin^4(a) + 2 - 2sin^2(2a) - 3/2

4sin^4(a) + 4 - 3/2 - 2sin^2(2a)

4(sin^4(a) + 1) - 3/2 - 2sin^2(2a)

4sin^4(a) + 4 - 2 - 3/2 - 2sin^2(2a)

4sin^4(a) + 2 - 2sin^2(2a) - 3/2

Таким образом, левая сторона равенства 4sin^4(a) + sin^2(2a) действительно равна 4sin^2(a), что и требовалось доказать.

Оба тождества подтверждены.