Question

Решить уравнение 1 + 3 sin2 x = 4 sin x cos x.

Answer 1

$1+3sin2x=4sinxcosx\\1+3sin2x=2sin2x\\sin2x=-1\Rightarrow 2x=\frac{3\pi }{2}+2\pi k\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

1 + 3sin^2(x) = 4sin(x)cos(x)

Перепишем 4sin(x)cos(x) в виде 2 * 2sin(x)cos(x):

1 + 3sin^2(x) = 2 * 2sin(x)cos(x)

Используем тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

3sin^2(x) + cos^2(x) = 2 * 2sin(x)cos(x)

Подставим вместо cos^2(x) выражение 1 - sin^2(x):

3sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 2 * 2sin(x)cos(x)

Упростим левую часть:

2sin^2(x) + 1 = 4sin(x)cos(x)

Теперь мы можем поделить обе стороны на 2:

sin^2(x) + 1/2 = 2sin(x)cos(x)

Далее, воспользуемся тригонометрической идентичностью sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

sin^2(x) + 1/2 = sin(2x)

Теперь выразим sin^2(x) через cos^2(x), используя тот факт, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - cos^2(x) + 1/2 = sin(2x)

Теперь мы можем объединить числитель:

3/2 - cos^2(x) = sin(2x)

Используем тригонометрическую идентичность sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

3/2 - cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим 1 - sin^2(x) вместо cos^2(x):

3/2 - (1 - sin^2(x)) = 2sin(x)(1 - sin^2(x))

Упростим:

3/2 - 1 + sin^2(x) = 2sin(x) - 2sin^3(x)

1/2 + sin^2(x) = 2sin(x) - 2sin^3(x)

Теперь мы получили уравнение с одной переменной sin(x). Вы можете использовать численные методы, чтобы приближенно решить это уравнение. В данном случае, точное аналитическое решение может быть сложно выразить.