Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями. а) у = х2 – 7х + 10, у= 0; б) у= 4 – х2 , у=0

Answer 1

Ответ: 1) 9/2; 2) 32/3.

Пошаговое объяснение:

1) S=F(2)-F(5), где F(x)=∫(x²-7*x+10)*dx. Найдём F(x)=∫x²*dx+7*∫x*dx+10*∫dx=1/3*x³+7/2*x²+10*x+C, где C - произвольная постоянная. Подставляя в это выражение пределы интегрирования x=2 и x=5, находим S=F(2)-F(5)=9/2. Ответ: 9/2.

2) S=F(2)-F(-2), где F(x)=∫(4-x²)*dx=4*∫dx-∫x²*dx=4*x-1/3*x³+C. Подставляя в это выражение пределы интегрирования x=2 и x=-2, находим S=F(2)-F(-2)=32/3.

Answer 2

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции у = х^2 – 7х + 10 и осью х, нужно найти точки пересечения графика с осью х. Эти точки будут являться границами фигуры.

Для у = х^2 – 7х + 10, установим у = 0 и решим уравнение:

0 = х^2 – 7х + 10

Мы можем факторизовать это уравнение, чтобы найти его корни:

0 = (х – 2)(х – 5)

Таким образом, у = 0 при х = 2 и х = 5.

Эти точки пересечения будут границами фигуры. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя функцию у = х^2 – 7х + 10 между этими границами:

Площадь = ∫[2, 5] (х^2 – 7х + 10) dx

Вычисляя интеграл, получаем:

Площадь = [ (1/3)х^3 – (7/2)х^2 + 10х ] [2, 5]

Подставим верхнюю и нижнюю границы:

Площадь = [ (1/3)(5^3) – (7/2)(5^2) + 10(5) ] - [ (1/3)(2^3) – (7/2)(2^2) + 10(2) ]

Рассчитаем эту формулу:

Площадь = [ (1/3)(125) – (7/2)(25) + 50 ] - [ (1/3)(8) – (7/2)(4) + 20 ]

Площадь = [ 41.67 – 87.5 + 50 ] - [ 2.67 – 14 + 20 ]

Площадь = 3.17

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком у = х^2 – 7х + 10 и осью х, равна 3.17.

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции у = 4 – х^2 и осью х, нужно также найти точки пересечения графика с осью х.

Для у = 4 – х^2, установим у = 0 и решим уравнение:

0 = 4 – х^2

Перенесем х^2 в левую сторону:

х^2 = 4

Извлечем квадратный корень:

х = ±2

Таким образом, у = 0 при х = -2 и х = 2.

Эти точки пересечения являются границами фигуры. Вычислим площадь, интегрируя функцию у = 4 – х^2 между этими границами:

Площадь = ∫[-2, 2] (4 – х^2) dx

Вычисляем интеграл:

Площадь = [ 4х – (х^3/3) ] [-2, 2]

Подставляем верхнюю и нижнюю границы:

Площадь = [ 4(2) – ((2)^3/3) ] - [ 4(-2) – ((-2)^3/3) ]

Площадь = [ 8 – (8/3) ] - [ -8 – (-8/3) ]

Площадь = 32/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком у = 4 – х^2 и осью х, равна 32/3 или около 10.67.