Question

Исследуйте функцию f(x) = -9x+x³ на монотонность и экстремумы.

Answer 1

Ответ:

ответ 13

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте начнем с анализа монотонности функции $f(x) = -9x + x^3$. Для этого нам понадобятся производные функции.

Первая производная: $f'(x) = \frac{d}{dx} (-9x + x^3) = -9 + 3x^2.$

Теперь рассмотрим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна:

1. $f'(x) > 0$: это означает, что производная положительна и, следовательно, функция возрастает. Решая неравенство $-9 + 3x^2 > 0$, получаем $x^2 > 3$, что значит $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

2. $f'(x) < 0$: это означает, что производная отрицательна и, следовательно, функция убывает. Решая неравенство $-9 + 3x^2 < 0$, получаем $x^2 < 3$, что значит $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

Таким образом, функция $f(x) = -9x + x^3$ убывает на интервале $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ и возрастает на интервалах $x < -\sqrt{3}$ и $x > \sqrt{3}$.

Теперь найдем экстремумы функции. Экстремумы возникают там, где производная равна нулю или не существует.

$f'(x) = -9 + 3x^2$ равна нулю при $x = \pm \sqrt{3}$.

Теперь используем вторую производную, чтобы определить характер экстремумов:

Вторая производная: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (-9 + 3x^2) = 6x.$

Подставим значения $x = \pm \sqrt{3}$:

• $f''(\sqrt{3}) = 6 \cdot \sqrt{3} > 0$, значит, это точка минимума.
• $f''(-\sqrt{3}) = -6 \cdot \sqrt{3} < 0$, значит, это точка максимума.

Итак, функция $f(x) = -9x + x^3$ имеет локальный максимум в точке $x = -\sqrt{3}$ и локальный минимум в точке $x = \sqrt{3}$, и она убывает на интервале $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ и возрастает на интервалах $x < -\sqrt{3}$ и $x > \sqrt{3}$