Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ! Известно, что a и b – такие целые числа, что a + 20 кратно 2020 и b + 101 кратно 2020. Всегда ли ab кратно 2020?

Answer 1

Ответ:

да, всегда

Пошаговое объяснение:

a + 20 кратно 2020, значит его разложение на простые множители имеет вид: 2*2*5*101*k = 20*101*k, где (k∈N, k≥1), значит а = (101*k - 1)*20, Заметим, что 101*k - 1 ≥ 100 > 0, значит a кратно 20

Аналогично с b:

b + 101 кратно 2020, b+101 имеет вид 20*101*q, (где q∈N q≥ 1) ⇒

⇒b = (20q - 1)*101

Заметим, что 20*q - 1 ≥ 19 > 0, значитb кратно 101

a = (101k - 1)*20

b = (20q - 1)*101

ab = 2020*(20q-1)*(101k-1), значит ab кратно 2020

Answer 2

Да, всегда ли произведение $ab$ кратно 2020.

Дано, что $a + 20$ кратно 2020, что можно записать как: $a + 20 = 2020n_1,$ где $n_1$ - целое число.

Также дано, что $b + 101$ кратно 2020, что можно записать как: $b + 101 = 2020n_2,$ где $n_2$ - целое число.

Теперь умножим обе стороны первого уравнения на $b$, а обе стороны второго уравнения на $a$: $ab + 20b = 2020n_1b,$ $ab + 101a = 2020n_2a.$

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $20b - 101a = 2020n_1b - 2020n_2a,$ $20b - 101a = 2020(bn_1 - an_2).$

Левая сторона уравнения делится на 2020, следовательно, и правая сторона также делится на 2020. Это означает, что $20b - 101a$ кратно 2020.

Значит, произведение $ab$ также будет кратно 2020, так как $ab = (ab + 20b) - 20b = (20b - 101a) + 101a$.

Таким образом, всегда верно, что $ab$ кратно 2020.