Question

Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=2^x - 1/sin^2x

Answer 1

$f(x) = 2^{x} - \dfrac{1}{\sin^{2}x}$

$F(x) = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + \text{ctg} \, x +C$

Воспользуйтесь формулами:

$f(x) = a^{x}, \ a > 0, \ a \neq 1 \Rightarrow F(x) = \dfrac{a^{x}}{\ln a} + C$

$f(x) = \dfrac{1}{\sin^{2}x} \Rightarrow F(x) = -\text{ctg} \, x + C$

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной функции $f(x) = 2^x - \frac{1}{\sin^2(x)}$, мы можем разбить эту функцию на две части и интегрировать их по отдельности. Для этого используем стандартные интегральные правила и формулы.

1. Интегрируем $2^x$:

$$\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C_1,$$

где $C_1$ — произвольная постоянная.

2. Интегрируем $-\frac{1}{\sin^2(x)}$: Для интегрирования этой части, воспользуемся заменой переменной. Пусть $u = \cot(x)$, тогда $du = -\frac{1}{\sin^2(x)} \, dx$.

$$\int -\frac{1}{\sin^2(x)} \, dx = \int du = u + C_2 = \cot(x) + C_2,$$

где $C_2$ — еще одна произвольная постоянная.

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = 2^x - \frac{1}{\sin^2(x)}$ будет:

$$F(x) = \frac{2^x}{\ln(2)} + \cot(x) + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.