Question

Найти: grad Z в точке А Z=arctg(xy^2) A(2;3) помогите

Answer 1

ПРИМЕР №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:

1) grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.

z=5x²*y+3xy²

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j

Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)A=13i+11j

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0).

Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.

б) производную в точке А по направлению вектора а.

 

ПРИМЕР №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2).

z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

 

ПРИМЕР №4. Дана функция . Найти:

1) gradu в точке A(5; 3; 0);

2) производную в точке А в направлении вектора a=i-2j+k.

Решение.

1. .

Найдем частные производные функции u в точке А.

;;

, .

Тогда  

2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

.

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a0 вектора a.

, где .

Отсюда .

ПРИМЕР №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.

Решение.

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

Answer 2

Для нахождения градиента функции Z = arctan(xy^2) в точке A(2, 3) мы должны вычислить частные производные этой функции по переменным x и y, а затем подставить значения x = 2 и y = 3.

Функция Z = arctan(xy^2)

Частная производная по x: ∂Z/∂x = y^2 / (1 + x^2 * y^4)

Частная производная по y: ∂Z/∂y = 2xy / (1 + x^2 * y^4)

Теперь подставим x = 2 и y = 3: ∂Z/∂x = 3^2 / (1 + 2^2 * 3^4) = 9 / (1 + 144) = 9 / 145 ∂Z/∂y = 2 * 2 * 3 / (1 + 2^2 * 3^4) = 12 / (1 + 144) = 12 / 145

Градиент в точке A(2, 3): grad Z = (∂Z/∂x, ∂Z/∂y) = (9/145, 12/145)