Question

В круг вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что из 5 точек, наугад брошенных в круг, ни одна не упадет внутрь указанного треугольника.

Answer 1

R - радиус окружности

Площадь круга

S= π R^2

Площадь треугольника

s = 3√3 R^2 /4

Вероятность попасть в круг и не попасть в треугольник равна

р = 1- s/S

Сделать это 5 раз

Р = p^5 = (1- 3√3/4π) ^5 = ~ 0.0694

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что из 5 точек, наугад брошенных в круг, ни одна не упадет внутрь указанного правильного треугольника, мы можем воспользоваться геометрическими соображениями.

Пусть A, B и C - вершины правильного треугольника, вписанного в круг. Пусть P - это какая-то из вершин треугольника, например, A. Мы знаем, что вероятность попадания точки внутрь треугольника PAB равна отношению площади треугольника PAB к площади всего круга. Так как треугольник PAB - это треугольник, образованный одной из вершин правильного треугольника и двумя точками на его сторонах, то его площадь равна 1/6 площади всего треугольника ABC (так как каждая из шести вершин может быть вершиной такого треугольника PAB). Площадь всего треугольника ABC равна (AB^2 * √3) / 4.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка попадет внутрь треугольника PAB, равна:

P(PAB) = (площадь треугольника PAB) / (площадь круга ABC) = (1/6 * (AB^2 * √3) / 4) / ((AB^2 * π) / 4) = (√3) / (6π)

Итак, вероятность того, что случайно выбранная точка НЕ попадет внутрь треугольника PAB, равна:

P(not in PAB) = 1 - P(PAB) = 1 - (√3) / (6π)

Для 5 точек независимые события, вероятность которых не пересекаются, перемножаются. Таким образом, вероятность того, что ни одна из 5 точек не упадет внутрь треугольника PAB:

P(none in PAB) = P(not in PAB)^5 = (1 - (√3) / (6π))^5

Это будет вероятностью того, что из 5 точек ни одна не упадет внутрь треугольника, если точки выбираются наугад внутри круга.