Question

Есть редкое заболевание, которое встречается у 1% населения. Есть тест, который дает положительный результат на 99% больных людей и ложный положительный результат на 2% здоровых людей. Тест показывает положительный результат на пациента. Какова вероятность того, что у пациента нет заболевания?

Answer 1

Назовем событие $A$ — человек здоров, событие $B$ — болен, событие $A^*$ — здоров согласно результатам теста, $B^*$ — болен согласно результатам теста. Нам требуется определить величину $P(A|B^{*})$.

По теореме Байеса: $P(A|B^*)=\frac{P(B^*|A)P(A)}{P(B^*)}$.

При этом $P(A)=0,99$, $P(B)=0,01$, $P(B^*|A)=0,02$.

Вероятность того, что обследование показало, что человек болен, то есть $P(B^*)$, складывается из двух вероятностей: человек болен и это показало обследование и человек здоров, и имеет место ложноположительный результат. То есть $P(B^*)=0,01\times0,99+0,99\times 0,02=0,0297$. Итак, $P(A|B^*)=\frac{0,02\times0,99}{0,0297}=\frac{2}{3}$

Answer 2

Давайте воспользуемся теорией вероятностей для решения этой задачи. Пусть:

• A обозначает событие "пациент болен".
• B обозначает событие "тест показал положительный результат".

Мы ищем вероятность события "пациент не болен", то есть P(не A | B).

Известные вероятности:

1. P(A) = 0.01 (вероятность того, что пациент болен).
2. P(не A) = 0.99 (вероятность того, что пациент не болен).
3. P(B | A) = 0.99 (вероятность положительного результата при болезни).
4. P(B | не A) = 0.02 (ложноположительный результат у здорового пациента).

Используя формулу условной вероятности:

P(не A | B) = P(не A и B) / P(B)

Мы можем разложить P(не A и B) на два случая:

1. Пациент не болен и тест показал положительный результат (ложноположительный случай): P(не A и B) = P(не A) * P(B | не A)
2. Пациент болен и тест показал положительный результат (верноположительный случай): P(A и B) = P(A) * P(B | A)

Теперь можем рассчитать P(B):

P(B) = P(A и B) + P(не A и B)

P(B) = P(A) * P(B | A) + P(не A) * P(B | не A)

Теперь можем вычислить P(не A | B):

P(не A | B) = P(не A и B) / P(B)

P(не A | B) = (P(не A) * P(B | не A)) / (P(A) * P(B | A) + P(не A) * P(B | не A))

Подставляем значения:

P(не A | B) = (0.99 * 0.02) / (0.01 * 0.99 + 0.99 * 0.02) ≈ 0.98

Итак, вероятность того, что у пациента нет заболевания при положительном результате теста, составляет около 98%.