Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x+1)^2; y=0;x=1​

Answer 1

Ответ:

Указана только одна абсциса до которой нужно интегрировать. Значит вторая-это ближайшая к ней точка пересечения графика функции с осью Ох. Это Х= -1. Теперь смело интегрируем.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями и кривой, нужно вычислить интеграл площади между этими кривыми. В данном случае, фигура ограничена линиями y = (x+1)^2, y = 0 и x = 1.

Сначала найдем точки пересечения этих кривых:

1. Пересечение кривых y = (x+1)^2 и y = 0: Подставляем y = 0 в уравнение первой кривой: (x+1)^2 = 0 Это уравнение имеет один корень: x = -1.

2. Пересечение кривых y = (x+1)^2 и x = 1: Подставляем x = 1 в уравнение первой кривой: y = (1+1)^2 = 4.

Теперь мы знаем, что границы интегрирования по x будут от -1 до 1, а верхней и нижней функциями будут y = (x+1)^2 и y = 0 соответственно.

Площадь фигуры можно найти следующим образом:

$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} [(x+1)^2 - 0] \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx$

$= \left. \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right|_{-1}^{1}$

$= \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - \left( \frac{-1}{3} + 1 - 1 \right)$

$= \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x+1)^2, y = 0 и x = 1, равна $\frac{7}{3}$ квадратных единиц.