Question

При каких натуральных n выражение n*2^(n+1) + 1 является полным квадратом?

Answer 1

Ответ:

n=3

Пошаговое объяснение:

n*2^(n+1)+1=b^2

n*2^(n+1)=b^2-1=(b-1)(b+1)

число b не может быть четным , иначе (b-1)(b+1) буде нечетное число, а выражение слева делится на 2.

Значит b=2a+1, тогда n*2^(n+1)=4a*(a+1) => n*2^(n-1)=a*(a+1)

Либо а, либо a+1 делится на n.

Тогда  a=n*2^m

(a+/-1)=2^(n-1-m)

n*2^m +/-1=2^(n-1-m)  Равенство возможно, только если степень двойки слева или справа  равна 0.

n+/-1=2^(n-1)

2^(n-1)=n+1 => n=3

2^(n-1)=n-1 - решения нет

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение n * 2^(n+1) + 1 и попробуем найти такие натуральные n, при которых оно является полным квадратом.

Полный квадрат - это число, которое можно записать в виде a^2, где "a" - натуральное число.

Рассмотрим выражение n * 2^(n+1) + 1. Мы хотим найти такие натуральные n, при которых это выражение является полным квадратом:

n * 2^(n+1) + 1 = a^2

Перенесем 1 на другую сторону уравнения:

n * 2^(n+1) = a^2 - 1

n * 2^(n+1) = (a + 1)(a - 1)

Теперь давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если n четное, то и a четное, так как произведение четного и четного числа дает четное число. Но разность a + 1 и a - 1 равна 2, и это противоречит условию, что произведение равно n * 2^(n+1). Следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если n нечетное, то и a нечетное, так как произведение нечетного и четного числа дает нечетное число. Разность a + 1 и a - 1 равна 2, что соответствует условию. Таким образом, в этом случае может существовать решение.

Резюмируя, для n * 2^(n+1) + 1 чтобы было полным квадратом, n должно быть нечетным. Однако это еще не означает, что для всех нечетных n это выражение будет полным квадратом. Требуется дополнительный анализ и проверка для конкретных значений n.