Question

Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями у = 4 – х2, у = 0, х = 0, х = 2.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

площадь фигуры численно равна определенному интегралу

$\int\limits^2_0 {(4-x^{2} -0)} \, dx$

далее на фото

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти интеграл функции, описывающей верхнюю границу фигуры, и вычесть интеграл функции, описывающей нижнюю границу фигуры.

В данном случае, верхняя граница задана уравнением у = 4 - x^2, а нижняя граница - у = 0 (ось X).

Интеграл для площади можно записать следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

где $f(x)$ - верхняя граница (уравнение $y = 4 - x^2$), $g(x)$ - нижняя граница (уравнение $y = 0$), а $a$ и $b$ - границы интегрирования (в данном случае $a = 0$, $b = 2$).

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

$S = \int_{0}^{2} (4 - x^2 - 0) dx$

$S = \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$

Давайте проинтегрируем это выражение:

$S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}$

$S = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}\right)$

$S = (8 - \frac{8}{3}) - (0 - 0)$

$S = \frac{16}{3}$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями $y = 4 - x^2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 2$ составляет $\frac{16}{3}$ или приблизительно 5.33 единицы квадратные.