Question

Найти общее решение y''+3y'+2y=2x^2e^-x

Answer 1

Ответ:

y = yoo + yr = С1*e^(-1) + C2*e^(-2) + (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)

Пошаговое объяснение:

Если Вы имеете в виду (2x^2) * e^(-x)

Характеристическое уравнение второго порядка

k^2 + 3k + 2 = 0

По Виета

k1 = -2  k2 = -1

Общее решение однородного: уоо = С1*e^(-1) + C2*e^(-2)

Частное решение неоднородного ищем в виде yr = A*2x^2 * e^(-x)

y'r = 4x * e^(-x)А - 2x^2 * e^(-x)А

y''r =  4* e^(-x)А - 4x * e^(-x)А - 4x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А  = 4* e^(-x)А - 8x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А

4* e^(-x)А - 8x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А + 12x * e^(-x)А - 6x^2 * e^(-x) А + 4x^2 * e^(-x)А = 2x^2 * e^(-x)

4* e^(-x)А + 4x * e^(-x)А  = 2x^2 * e^(-x)   |: e^(-x)

4А + 4Ах = 2x^2

A = 2x^2 / (4 + 4x)

yr = 2x^2 / (4 + 4x) * 2x^2 * e^(-x) = (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)

y = yoo + yr = С1*e^(-1) + C2*e^(-2) + (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить с помощью метода вариации постоянных. Первым шагом давайте найдем общее решение однородной части уравнения (без правой части):

y'' + 3y' + 2y = 0

Характеристическое уравнение для этой однородной части:

r^2 + 3r + 2 = 0

Факторизуем его:

(r + 2)(r + 1) = 0

Получаем два корня: r = -2 и r = -1. Следовательно, общее решение однородной части:

y_h(x) = c1 * e^(-2x) + c2 * e^(-x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь используем метод вариации постоянных для нахождения частного решения полного уравнения:

y_p(x) = u1(x) * e^(-2x) + u2(x) * e^(-x),

где u1(x) и u2(x) - функции, которые мы будем находить.

Производные: y_p'(x) = u1' * e^(-2x) + u2' * e^(-x) - 2u1 * e^(-2x) - u2 * e^(-x), y_p''(x) = u1'' * e^(-2x) + u2'' * e^(-x) - 4u1' * e^(-2x) - u2' * e^(-x) + 4u1 * e^(-2x) + u2 * e^(-x).

Подставляем это в исходное уравнение:

(u1'' * e^(-2x) + u2'' * e^(-x) - 4u1' * e^(-2x) - u2' * e^(-x) + 4u1 * e^(-2x) + u2 * e^(-x))

• 3(u1' * e^(-2x) + u2' * e^(-x) - 2u1 * e^(-2x) - u2 * e^(-x))
• 2(u1 * e^(-2x) + u2 * e^(-x)) = 2x^2 * e^(-x).

Упрощаем:

u1'' * e^(-2x) + u2'' * e^(-x) = 2x^2 * e^(-x).

Теперь мы должны найти функции u1(x) и u2(x), которые удовлетворяют этому уравнению. Мы видим, что правая часть содержит полином второй степени. Поэтому можем попробовать искать частное решение в виде:

u1(x) = a * x^2 + b * x + c, u2(x) = d * x^2 + e * x + f.

Подставляем в уравнение для u1(x):

(u1'' * e^(-2x) + u2'' * e^(-x)) = 2x^2 * e^(-x), ((2a - 4a + 2d) * x^2 + (2b - 2b + 2e) * x + (2c - 2c + 2f)) * e^(-2x) = 2x^2 * e^(-x), (2d * x^2 + 2e * x + 2f) * e^(-2x) = 2x^2 * e^(-x).

Сравнивая коэффициенты, получаем:

2d = 2, 2e = 0, 2f = 0.

Отсюда d = 1, e = 0, f = 0.

Таким образом, функция u1(x) = x^2.

Подставляем в уравнение для u2(x):

u2'' * e^(-x) = 2x^2 * e^(-x), (2d * x^2 + 2e * x + 2f) * e^(-x) = 2x^2 * e^(-x), (2d * x^2 + 2e * x + 2f) * e^(-x) = 2x^2 * e^(-x).

Сравнивая коэффициенты, видим:

2d = 2, 2e = 0, 2f = 0.

Такие же значения, как и для u1(x). Следовательно, функция u2(x) = x^2.

Таким образом, частное решение уравнения:

y_p(x) = x^2 * e^(-2x) + x^2 * e^(-x).

Итоговое общее решение задачи:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(-2x) + c2 * e^(-x) + x^2 * e^(-2x) + x^2 * e^(-x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.