Question

Общий вид первообразной функции f (x)= 1/ sin^2 (3x)

Answer 1

Ответ:

$f(x)=\dfrac{1}{sin^23x}\\\\\\F(x)=-\dfrac{1}{3}\cdot ctg3x+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x)}$, мы можем воспользоваться методом подстановки и тригонометрическими тождествами.

Начнем с того, что мы знаем, что $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Применяя это тождество, мы можем переписать функцию $f(x)$ следующим образом:

$f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x)} = \frac{1}{\left(\frac{1 - \cos(6x)}{2}\right)} = \frac{2}{1 - \cos(6x)}.$

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой, чтобы интегрировать данную функцию. Положим $u = \cos(6x)$, тогда $du = -6\sin(6x) dx$. Заменяя переменные, получаем:

$\int \frac{2}{1 - \cos(6x)} dx = \int \frac{2}{1 - u} \cdot \frac{-1}{6} du = -\frac{1}{3} \int \frac{2}{1 - u} du.$

Теперь это стандартный интеграл $\int \frac{1}{1 - u} du$, который имеет простое решение:

$-\frac{1}{3} \int \frac{2}{1 - u} du = -\frac{1}{3} \cdot (-2\ln|1 - u|) + C = \frac{2}{3} \ln|1 - \cos(6x)| + C,$

где $C$ - произвольная постоянная.

Итак, первообразная функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x)}$ равна $\frac{2}{3} \ln|1 - \cos(6x)| + C$.