Question

Ds/dt=3-1/3t^2+8t^3,s(0)=3 . Знайти розв’язок диференціального рівняння​

Answer 1

$\dfrac{ds}{dt}=3-\dfrac{1}{3t^2+8t^3}\ \ ,\ \ \ s(0)=3\ \ ,\ \ ODZ:t\ne 0\\\\\\\int ds=\int \Big(3-\dfrac{1}{3t^2+8t^3}\Big)\, dt\ \ ,\ \ \ \int ds=\int 3\, dt-\int \dfrac{dt}{t^2\, (3+8t)}\ \ ,\\\\\\\int \dfrac{dt}{t^2\, (3+8t)}=\dfrac{64}{9}\int \dfrac{dt}{3+8t}+\dfrac{1}{3}\int \dfrac{dt}{t^2}-\dfrac{8}{9}\int \dfrac{dt}{t}=\\\\\\=\dfrac{64}{9\cdot 8}\cdot ln|3+8t|+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{-1}{t}-\dfrac{8}{9}\cdot ln|t|+C\\\\\\s=3t-\dfrac{8}{9}\cdot ln|3+8t|+\dfrac{1}{3t}+\dfrac{8}{9}\cdot ln|t|+C$

t=0  не входит в ОДЗ, поэтому начальное условие записано неверно и найти частное решение при таких начальных условиях невозможно .

$\star \ \ \ \ \dfrac{1}{t^2(3+8t)}=\dfrac{A}{3+8t}+\dfrac{B}{t^2}+\dfrac{C}{t}}\\\\\\1=At^2+B(3+8t)+Ct(3+8t)\\\\t=0:\ \ B=\dfrac{1}{3}\\\\t=-\dfrac{3}{8}:\ \ A=\dfrac{64}{9}\\\\0=8B+3C\ \ ,\ \ 3C=-\dfrac{8}{3}\ \ ,\ \ C=-\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1}{t^2(3+8t)}=\dfrac{64}{9(3+8t)}+\dfrac{1}{3t^2}-\dfrac{8}{9t}$

Answer 2

Для вирішення цього диференціального рівняння зі змінними розділу, ми можемо інтегрувати обидві сторони рівняння за відповідними змінними. Отже, розв'язок буде знайдений у вигляді виразу для функції s(t).

Почнемо з диференціального рівняння: ds/dt = 3 - (1/3)t^2 + 8t^3.

Щоб інтегрувати це рівняння, давайте розділимо змінні і перенесемо всі диференціали на одну сторону:

ds = (3 - (1/3)t^2 + 8t^3) dt.

Тепер ми інтегруємо обидві сторони:

∫ds = ∫(3 - (1/3)t^2 + 8t^3) dt,

де ∫ позначає знак інтеграції.

Інтегруємо кожен доданок окремо:

s(t) = 3t - (1/9)t^3 + 2t^4 + C,

де C - це константа інтегрування, яку потрібно визначити зі значенням початкової умови s(0) = 3.

Підставляючи значення, отримуємо:

3 = 0 - 0 + 0 + C,

звідки C = 3.

Таким чином, остаточний розв'язок диференціального рівняння має вигляд:

s(t) = 3t - (1/9)t^3 + 2t^4 + 3.