Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння y"-9y=5e^3x та його частинний розв'язок, що задовольняє початковим умовам y(0)=-2, y`(0)=1

Answer 1

Заметим, что один из корней кратности 1 характеристического уравнения совпадает с контрольным числом 3, а значит, согласно правилу Эйлера, при поиске частного решения неоднородного дифференциального уравнения его стандартный вид необходимо домножить на переменную в степени, равной кратности этого корня - т.е. $x^1=x$ .

$>\lambda=\pm3=>y_{oo}=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}\\ y_{r_H}=Ae^{3x}*x^1=Axe^{3x}=>A(3e^{3x}+3(e^{3x}+3xe^{3x}))-9Axe^{3x}=5e^{3x}\\ A*6e^{3x}=5e^{3x}=>A=\dfrac{5}{6}=>y_{r_H}=\dfrac{5}{6}xe^{3x}\\ y=\dfrac{5}{6}xe^{3x}+C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}$

$2)\;y(0)=-2=>-2=C_1+C_2\\ y'(0)=1=>\left[y'=\dfrac{5}{6}(e^{3x}+3xe^{3x})+3C_1e^{3x}-3C_2e^{-3x}\right]=>\dfrac{5}{6}+3C_1-3C_2=1=>C_1-C_2=\dfrac{1}{18}=>C_1=-\dfrac{35}{36},C_2=-1\dfrac{1}{36}\\ y=\dfrac{5}{6}xe^{3x}-\dfrac{35}{36}e^{3x}-1\dfrac{1}{36}e^{-3x}$

Answer 2

Загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку $y'' - 9y = 0$ можна знайти за допомогою характеристичного рівняння: $r^2 - 9 = 0$. Характеристичне рівняння має два корені: $r_1 = 3$ та $r_2 = -3$.

Тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд: $y_h(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x},$ де $c_1$ та $c_2$ - довільні константи.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння $y'' - 9y = 5e^{3x}$ можна знайти методом варіації довільних констант, використовуючи підстановку: $y_p(x) = A e^{3x},$ де $A$ - невідома константа.

Підставляючи $y_p(x)$ в диференціальне рівняння, отримуємо: $9A e^{3x} - 9A e^{3x} = 5e^{3x},$ що спрощується до $0 = 5e^{3x}$. Очевидно, що це рівняння не має розв'язків для будь-якого значення $x$.

Отже, частинний розв'язок $y_p(x)$ не існує, оскільки права частина неоднорідного рівняння не має відповідного вигляду для варіації довільних констант.

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння можна записати як суму загального розв'язку однорідного рівняння і будь-якого частинного розв'язку неоднорідного рівняння, але в даному випадку частинний розв'язок не існує.

Таким чином, загальний розв'язок $y(x)$ для заданого рівняння є сумою загального розв'язку однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного рівняння, але оскільки останній не існує, загальний розв'язок буде: $y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x}.$

Для задоволення початкових умов $y(0) = -2$ та $y'(0) = 1$ можна використовувати ці умови для знаходження констант $c_1$ та $c_2$:

$$\begin{align*} y(0) &= c_1 e^{3 \cdot 0} + c_2 e^{-3 \cdot 0} = c_1 + c_2 = -2, \\ y'(0) &= 3c_1 e^{3 \cdot 0} - 3c_2 e^{-3 \cdot 0} = 3c_1 - 3c_2 = 1. \end{align*}$$

Розв'язавши цю систему лінійних рівнянь, ми знаходимо $c_1 = -\frac{1}{3}$ та $c_2 = -\frac{5}{3}$.

Таким чином, частинний розв'язок, який задовольняє початковим умовам, має вигляд: $y(x) = -\frac{1}{3} e^{3x} - \frac{5}{3} e^{-3x}.$

Загальний розв'язок диференціального рівняння $y'' - 9y = 5e^{3x}$ з заданими початковими умовами $y(0) = -2$ та $y'(0) = 1$ є сумою загального розв'язку однорідного рівняння і частинного розв'язку з початковими умовами: $y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x} -\frac{1}{3} e^{3x} - \frac{5}{3} e^{-3x}.$