Question

Знайти частинний розв’язок (частинний інтеграл) диференціального рівняння при заданих початкових умовах. y"tgy=2(y')^2 ; y(-1/2)=pi/4 ; y'(-1/2)=1

Answer 1

Ответ 5, прости не могу расписать, не хватает времени

Answer 2

Для знаходження частинного розв'язку диференціального рівняння, спершу ми можемо використовувати метод розширених інтегралів, щоб спростити рівняння. Дане диференціальне рівняння має вигляд:

y'' * tg(y) = 2 * (y')^2

Де y'' - друга похідна від y за відносно часу t, y' - перша похідна від y за відносно часу t, а tg(y) - тангенс від y.

Спростимо рівняння, поділивши обидві сторони на 2 * (y')^2:

y'' * tg(y) / (2 * (y')^2) = 1

Тепер зробимо підстановку, щоб позбутися від tg(y):

z = y'

Тоді можемо записати наше рівняння так:

z * dz/dt = 1

Зараз ми можемо інтегрувати це рівняння відносно z за відносно t:

∫(z * dz) = ∫dt

(1/2) * z^2 = t + C1

де C1 - стала інтегрування.

Тепер ми можемо використовувати вираз для z, щоб знайти y:

z = y'

(1/2) * (y')^2 = t + C1

(y')^2 = 2 * (t + C1)

y' = ±√(2 * (t + C1))

Тепер інтегруємо це відносно t:

dy/dt = ±√(2 * (t + C1))

dy = ±√(2 * (t + C1)) * dt

Тепер інтегруємо з обох сторін:

∫dy = ±∫√(2 * (t + C1)) * dt

Отримаємо:

y = ±(2/3) * (t + C1)^(3/2) + C2

Тепер ми маємо загальний розв'язок для нашого диференціального рівняння. Щоб знайти частинний розв'язок з заданими початковими умовами, підставимо y(-1/2) = π/4 і y'(-1/2) = 1:

y(-1/2) = π/4 = ±(2/3) * ((-1/2) + C1)^(3/2) + C2

y'(-1/2) = 1 = ±√(2 * ((-1/2) + C1))

Тепер ми можемо вирішити ці два рівняння відносно C1 і C2. Спершу знайдемо C2 з другого рівняння:

1 = ±√(2 * ((-1/2) + C1))

±√2 * √(C1 - 1/2) = 1

√(C1 - 1/2) = 1 / √2

C1 - 1/2 = 1/2

C1 = 1

Тепер ми можемо підставити C1 в перше рівняння:

π/4 = ±(2/3) * ((-1/2) + 1)^(3/2) + C2

π/4 = ±(2/3) * (1/2)^(3/2) + C2

π/4 = ±(2/3) * (1/2) * C2 + C2

π/4 = (1/3) * C2 + C2

Згрупуємо C2:

C2 = π/4 / (4/3)

C2 = (3/4) * (π/4)

C2 = 3π/16

Таким чином, ми знайшли значення C1 і C2. Частинний розв'язок диференціального рівняння з заданими початковими умовами є:

y = (2/3) * (t + 1)^(3/2) + 3π/16