Question

напишите каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет равен 13/5 и гипербола проходит через точку К (-5*корень из 2; 12)​

Answer 1

.............................

Answer 2

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (h, k), основными осями, параллельными осям координат, и эксцентриситетом e имеет следующий вид:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Где $a$ и $b$ - длины полуосей гиперболы, связанные с эксцентриситетом $e$ следующим образом: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ - расстояние от центра до фокуса гиперболы.

В данном случае эксцентриситет $e = \frac{13}{5}$. Мы также знаем координаты точки $K$ через которую проходит гипербола: $K \left( -5\sqrt{2}, 12 \right)$.

Поскольку фокусное расстояние $c$ связано с эксцентриситетом $e$ следующим образом: $c = ae$, мы можем найти $a$ как: $a = \frac{c}{e}$

Так как фокусное расстояние равно расстоянию от центра до точки $K$, то: $c = \sqrt{(h + 5\sqrt{2})^2 + (k - 12)^2}$

Составив уравнение для $a$ и подставив значение $e$, получим: $a = \frac{\sqrt{(h + 5\sqrt{2})^2 + (k - 12)^2}}{\frac{13}{5}} = \frac{5\sqrt{(h + 5\sqrt{2})^2 + (k - 12)^2}}{13}$

Таким образом, каноническое уравнение гиперболы будет иметь вид: $\frac{(x - h)^2}{\left( \frac{5\sqrt{(h + 5\sqrt{2})^2 + (k - 12)^2}}{13} \right)^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

где $b = \sqrt{a^2 + c^2}$. Подставив известные значения, можно получить окончательное уравнение гиперболы.