Question

Помогите, пожалуйста! Срочно! Составить каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы равен 1.4, а расстояние от вершины к ближайшему фокусу равно 2.

Answer 1

Если выбрать вершину гиперболы - точку (а;0), тогда ближайший фокус будет (с;0), по условию с-а=2, а эксцентриситет с/а=1.4, тогда из второго условия с=1.4а, подставим в первое уравнение, то 1.4а-а=2, откуда а=2/0.4=5, значит, с =2+5=7.

b²=c²-a²;  b²=7²-5²=12*2=24;

общее уравнение гиперболы  х²/а²-у²/b²=1, подставим полученные значения, выходим на ответ  х²/5²-у²/(√24)²=1, или х²/25-у²/24=1,

Answer 2

Для составления канонического уравнения гиперболы с известным эксцентриситетом и расстоянием от вершины к ближайшему фокусу, мы можем использовать следующие формулы:

- Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат имеет вид: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a$ и $b$ - полуоси гиперболы. - Эксцентриситет гиперболы определяется как $e = \frac{c}{a}$, где $c$ - расстояние от центра гиперболы до фокусов. - Расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно $d = a - c$.

Известно, что $e = 1.4$ и $d = 2$. Мы можем использовать эти значения для нахождения $a$ и $c$:

1. Используя формулу $e = \frac{c}{a}$, подставляем значение эксцентриситета и находим $c = e \cdot a = 1.4 \cdot a$. 2. Используя формулу $d = a - c$, подставляем значение расстояния и найденное значение $c$ и находим $a - 1.4 \cdot a = 2$. 3. Решаем полученное уравнение: $0.6 \cdot a = 2$, откуда $a = \frac{2}{0.6} = \frac{10}{3}$. 4. Подставляем найденное значение $a$ в уравнение $c = 1.4 \cdot a$ и находим $c = 1.4 \cdot \frac{10}{3} = \frac{14}{3}$.

Таким образом, каноническое уравнение гиперболы будет иметь вид: $\frac{x^2}{\left(\frac{10}{3}\right)^2} - \frac{y^2}{\left(\frac{14}{3}\right)^2} = 1$.