Question

Здравствуйте, помогите, пожалуйста с решением. Исследовать значение на экстремум функцию у= - х^3+6x^2-3

Answer 1

Ответ: Максимум - (4;29), Минимум - (0;-3)

Пошаговое объяснение:

(Как я понимаю, ночью ставки выше)

Возьмем производную данной функции, чтобы затем найти экстремум:

$f'(x) = (-x^3)' + (6x^2)' +(-3)' = -3x^2 + 12x + 0 = -3x^2 + 12x$

$f'(x) = -3x^2 + 12x$

Известно, что производная принимает нулевое значение в точке экстремума ⇒ приравняв производную к нулю мы сможем его найти.

$f'(x) = 0\\-3x^2 +12x = 0\\-3x(x-4) = 0\\x = 0; 4$

Рассмотрим знак производной до x = 0. При x = -1 производная отрицательна ⇒ функция убывает и при x = 0 минимум (можем так говорить, так как функция обычный куб). Затем производная становиться положительной и функция возрастает, пока x не становиться равен 4. Здесь достигается максимум. Потом производная становиться вновь отрицательной.

Значит:

При x = 0 - $min$

При x = 4 - $max$

Подставим числа:

$(0;-3) - min\\(4; 29) - max$

Answer 2

Здравствуйте! Для исследования на экстремум функции y = -x^3 + 6x^2 - 3 сначала найдем ее производные и точки, где производные равны нулю. Затем мы проверим знаки производных в окрестности этих точек, чтобы определить характер экстремума.

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = d/dx(-x^3 + 6x^2 - 3) = -3x^2 + 12x.

2. Решим уравнение -3x^2 + 12x = 0 для нахождения точек, где производная равна нулю: -3x^2 + 12x = 0 -3x(x - 4) = 0

   Отсюда получаем две точки: x = 0 и x = 4.

3. Теперь вычислим вторую производную функции y по x: y'' = d^2/dx^2(-x^3 + 6x^2 - 3) = -6x + 12.

4. Оценим знаки производной в окрестности точек x = 0 и x = 4:

   • При x < 0: -3x^2 + 12x > 0 (первая производная положительна), y'' < 0 (вторая производная отрицательна) => локальный максимум.

   • При 0 < x < 4: -3x^2 + 12x < 0 (первая производная отрицательна), y'' < 0 (вторая производная отрицательна) => локальный максимум.

   • При x > 4: -3x^2 + 12x > 0 (первая производная положительна), y'' > 0 (вторая производная положительна) => локальный минимум.

Итак, у функции y = -x^3 + 6x^2 - 3 есть локальный максимум при x = 0 и x = 4, и локальный минимум при x > 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что мы рассматривали только локальные экстремумы на данном интервале. Если вы хотите узнать о глобальных экстремумах функции на всей числовой прямой, дополнительный анализ может потребоваться.