Question

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной ((у=1/3 х^3-х)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y = (1/3)*x³ - x

Необходимое условие экстремума функции f'(x₀) = 0

таким образом ищем критические точки

y' = x²-1

x²-1  = 0 ⇒ х₁ = 1; х₂= -1

имеем две критические точки. (два экстремума)

теперь надо выяснить, кто из них минимум, а кто максимум.

для этого посмотрим на достаточное условие

если в точке x₀ выполняется условие:

f'(x₀) = 0

f''(x₀) > 0

то точка x₀ является точкой  минимума функции.

если в точке x₀

f'(x₀) = 0

f''(x₀) < 0

то точка x₀ - точка максимума.

y'' = 2x

y''(-1) = -2 < 0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.  (f(-1) = 2/3)

y''(1) = 2 > 0 - значит точка x = 1 точка минимума функции. f(1) = -2/3)

Answer 2

Для исследования функции на экстремум с использованием второй производной нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции: $y = \frac{1}{3}x^3 - x$

   $\frac{dy}{dx} = x^2 - 1$

2. Найдите вторую производную функции: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2x$

3. Решите уравнение $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ для нахождения критических точек: $2x = 0$ $x = 0$

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка при $x = 0$.

4. Исследуйте поведение второй производной в окрестности критической точки: Для $x < 0$, $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ (отрицательное значение) Для $x > 0$, $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ (положительное значение)

   Это означает, что у нас есть локальный максимум в точке $x = 0$, так как в окрестности этой точки вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный.

5. Подтвердите, что это действительно экстремум, проверив знак первой производной: Для $x < 0$, $\frac{dy}{dx} < 0$ (отрицательное значение) Для $x > 0$, $\frac{dy}{dx} > 0$ (положительное значение)

   Это также подтверждает, что у нас есть локальный максимум в точке $x = 0$, так как первая производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Итак, функция $y = \frac{1}{3}x^3 - x$ имеет локальный максимум в точке $x = 0$.