Question

Найти точки экстремума функции: f(x) = x 3 + 12x 2 - 25

Answer 1

Ответ:

Если я правильно понял условие, то ответом будут точки 0 и -8.

Пошаговое объяснение:

Точки экстремума у такой функции достигаются там, где производная равна нулю. Найдём производную исходной функции:

$(x^{3}+12x^{2}-25)'=3x^{2}+24x$

Найдём точки, в которых производная обнуляется:

$3x^{2}+24x=0$ ⇔ $x^{2}+8x=0$ ⇔ $x=0$ или $x=-8$

Это и будут точки экстремума.

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производные и приравнять их к нулю, затем решить полученное уравнение для $x$. Давайте начнем с функции $f(x) = x^3 + 12x^2 - 25$.

1. Найдем первую производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 12x^2 - 25) = 3x^2 + 24x.$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 + 24x = 0.$

3. Факторизуем уравнение: $3x(x + 8) = 0.$

Из этого уравнения мы получаем два значения $x$: $x = 0$ и $x = -8$.

4. Теперь, чтобы определить, является ли каждая из найденных точек экстремумом, нужно проанализировать вторую производную.

5. Найдем вторую производную функции $f(x)$: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(3x^2 + 24x) = 6x + 24.$

6. Подставим найденные значения $x$ во вторую производную:

   • Для $x = 0$: $f''(0) = 6 \cdot 0 + 24 = 24$, положительное значение, это означает, что у нас есть минимум в точке $x = 0$.
   • Для $x = -8$: $f''(-8) = 6 \cdot (-8) + 24 = -48$, отрицательное значение, это означает, что у нас есть максимум в точке $x = -8$.

Итак, точки экстремума функции $f(x) = x^3 + 12x^2 - 25$ следующие:

• Минимум в точке $x = 0$.
• Максимум в точке $x = -8$.