Question

Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = (y^3-2*x)*i+(z^2+4*y)*j+(x^3-3*z)*k

Answer 1

Ответ:

div F = -1, rot F = -2z i-3x^2 j-3y^2 k

Пошаговое объяснение:

Пусть задано векторное поле $\vec F = (A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z))$

Дивергенцией векторного поля называют величину: $div \bar F = \frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}$

Ротором векторного поля называют вектор: $rot \bar F = \left|\begin{array}{ccc}\bar i&\bar j&\bar k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\A&B&C\end{array}\right|$

Считаем:

$div \bar F = \frac{\partial}{\partial x}(y^3-2x)+\frac{\partial}{\partial y}(z^2+4y)+\frac{\partial}{\partial z}(x^3-3z) = -2+4-3=-1$

$rot \bar F = \left|\begin{array}{ccc}\bar i&\bar j&\bar k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y^3-2x&z^2+4y&x^3-3z\end{array}\right| = (\frac{\partial}{\partial y}(x^3-3z)-\frac{\partial}{\partial z}(z^2+4y))\bar i + (\frac{\partial}{\partial z}(y^3-2x)-\frac{\partial}{\partial x}(x^3-3z))\bar j+(\frac{\partial}{\partial x}(z^2+4y)-\frac{\partial}{\partial y}(y^3-2x))\bar k = -2z\bar i-3x^2\bar j-3y^2\bar k$

Answer 2

Для данного векторного поля $\mathbf{F} = (y^3 - 2x)\mathbf{i} + (z^2 + 4y)\mathbf{j} + (x^3 - 3z)\mathbf{k}$, давайте сначала найдем дивергенцию и затем ротор.

1. Дивергенция: Дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$ определяется как скалярное произведение градиентного оператора $\nabla$ на векторное поле $\mathbf{F}$. Для трехмерного пространства, дивергенция выглядит следующим образом:

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

Вычислим каждую из частных производных:

$\frac{\partial F_x}{\partial x} = -2$ $\frac{\partial F_y}{\partial y} = 4y$ $\frac{\partial F_z}{\partial z} = -3$

Теперь сложим эти частные производные:

$\nabla \cdot \mathbf{F} = -2 + 4y - 3 = 4y - 5$

Итак, дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$ равна $4y - 5$.

2. Ротор: Ротор векторного поля $\mathbf{F}$ определяется как векторное произведение градиентного оператора $\nabla$ и векторного поля $\mathbf{F}$. Для трехмерного пространства, ротор выглядит следующим образом:

$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\mathbf{k}$

Вычислим каждую из частных производных:

$\frac{\partial F_z}{\partial y} = 0$ $\frac{\partial F_y}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial F_x}{\partial z} = 0$ $\frac{\partial F_z}{\partial x} = -3$

$\frac{\partial F_y}{\partial x} = 0$ $\frac{\partial F_x}{\partial y} = -2$

Теперь вычислим каждую компоненту ротора:

$\nabla \times \mathbf{F} = 0\mathbf{i} + (-3 - 0)\mathbf{j} + (-2 - 0)\mathbf{k} = -3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$

Итак, ротор векторного поля $\mathbf{F}$ равен $-3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.

Итак, дивергенция $\nabla \cdot \mathbf{F}$ равна $4y - 5$, а ротор $\nabla \times \mathbf{F}$ равен $-3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ 0 0