Question

Найти ротор векторного поля a(M)=xyzi+(x+y+z)j+(x^2+y^2+z^2)k в точке М (1, 1,2)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а (М)=1*1*2i+(1+1+2)j+(1^2+1^2+2^2)k=2i+4h+6k

a (2;4;6)

Answer 2

Для нахождения ротора векторного поля $\mathbf{a} = xy \mathbf{i} + (x+y+z) \mathbf{j} + (x^2+y^2+z^2) \mathbf{k}$, мы будем использовать формулу ротора в декартовых координатах:

$\text{rot} \, \mathbf{a} = \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}$

где $a_x$, $a_y$ и $a_z$ - это компоненты векторного поля $\mathbf{a}$.

Сначала найдем частные производные компонент:

$a_x = xy, \quad a_y = x+y+z, \quad a_z = x^2+y^2+z^2$

Теперь вычислим частные производные:

$\frac{\partial a_x}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial a_x}{\partial z} = 0$ $\frac{\partial a_y}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial a_y}{\partial z} = 1$ $\frac{\partial a_z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial a_z}{\partial y} = 2y$

Теперь подставим значения производных в формулу ротора:

$\text{rot} \, \mathbf{a} = \left( 2y - 1 \right) \mathbf{i} + \left( 1 - 2x \right) \mathbf{j} + \left( x - y \right) \mathbf{k}$

Теперь давайте вычислим ротор в точке $M(1, 1, 2)$:

$\text{rot} \, \mathbf{a} = \left( 2 \cdot 1 - 1 \right) \mathbf{i} + \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \mathbf{j} + \left( 1 - 1 \right) \mathbf{k}$ $\text{rot} \, \mathbf{a} = \mathbf{i} - \mathbf{j}$

Итак, ротор векторного поля $\mathbf{a}$ в точке $M(1, 1, 2)$ равен $\mathbf{i} - \mathbf{j}$.