Question

1) Найти производную скалярного поля u=arctg-8xyz по направлению нормали к поверхности Ω:x^2+y^2-2z^2=10 в точке М(2;2;-1) 2)Найти поток векторного поля a=zi-4yj+2xk через замкнутую поверхность Ω:z=x^2+y^2, z=1 двумя способами: а)непосредственно, б)по теореме Остроградского-Гауса. 3)Найти циркуляцию векторного поля a=xyi+yzj+xzk вдоль контура L: x^2+y^2=9, x+y+z=1 двумя способами: а) непосредственно б)по теореме Стокса

Answer 1

Вложение .........................................................

Answer 2

1) Для нахождения производной скалярного поля u=arctg(-8xyz) по направлению нормали к поверхности Ω: x^2+y^2-2z^2=10 в точке M(2;2;-1) воспользуемся формулой для производной скалярного поля по направлению нормали:

du/dn = grad(u) * n,

где grad(u) - градиент скалярного поля, n - единичный вектор нормали к поверхности Ω в точке M.

Сначала найдем градиент скалярного поля u:

grad(u) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (-8yz/(1+64x^2y^2z^2), -8xz/(1+64x^2y^2z^2), -8xy/(1+64x^2y^2z^2)).

Теперь найдем единичный вектор нормали к поверхности Ω в точке M:

n = (2x, 2y, -4z) / sqrt(4x^2 + 4y^2 + 16z^2) = (2/3, 2/3, -4/3).

Теперь подставляем значения градиента и нормали в формулу производной:

du/dn = grad(u) * n = (-8yz/(1+64x^2y^2z^2), -8xz/(1+64x^2y^2z^2), -8xy/(1+64x^2y^2z^2)) * (2/3, 2/3, -4/3) = -32xyz/(1+64x^2y^2z^2).

Таким образом, производная скалярного поля u=arctg(-8xyz) по направлению нормали к поверхности Ω в точке M(2;2;-1) равна -32*2*2*(-1)/(1+64*2^2*2^2*(-1)) = 64/257.

2) Для нахождения потока векторного поля a=zi-4yj+2xk через замкнутую поверхность Ω: z=x^2+y^2, z=1 двумя способами:

а) Поток векторного поля через поверхность Ω можно найти по формуле:

Φ = ∬(a * n)dS,

где a - векторное поле, n - единичный вектор нормали к поверхности Ω, dS - элемент площади поверхности.

Для начала найдем нормали к поверхности Ω: z=x^2+y^2, z=1. Первая нормаль n1 = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1) = (-2x, -2y, 1), вторая нормаль n2 = (0, 0, -1).

Теперь найдем поток векторного поля a через поверхность Ω:

Φ = ∬(a * n1)dS + ∬(a * n2)dS = ∬((zi-4yj+2xk) * (-2x, -2y, 1))dS + ∬((zi-4yj+2xk) * (0, 0, -1))dS = ∬(-2xz-4y+2xdS + ∬(-dS) = ∬(-2xz-4y+2x-1)dS.

Вычислить этот интеграл без уточнения формы поверхности нельзя.

б) По теореме Остроградского-Гаусса поток векторного поля через замкнутую поверхность Ω равен интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному поверхностью Ω:

Φ = ∭(div(a))dV.

Дивергенция векторного поля a=zi-4yj+2xk равна div(a) = ∂(z)/∂x + ∂(-4y)/∂y + ∂(2x)/∂z = 1 - 4 + 2 = -1.

Таким образом, поток векторного поля a через замкнутую поверхность Ω равен интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному поверхностью Ω:

Φ = ∭(-1)dV = -V,

где V - объем, ограниченный поверхностью Ω.

3) Для нахождения циркуляции векторного поля a=xyi+yzj+xzk вдоль контура L: x^2+y^2=9, x+y+z=1 двумя способами:

а) Непосредственно циркуляция векторного поля a вдоль контура L может быть найдена как интеграл от скалярного произведения векторного поля a и вектора нормали к контуру L:

C = ∮(a * dr),

где a - векторное поле, dr - элемент длины контура.

Для начала найдем вектор нормали к контуру L. Для этого выразим z через x и y из уравнения x+y+z=1: z=1-x-y. Теперь найдем производные x и y по параметру t (если контур задан параметрически) или по координате (если контур задан уравнениями) и составим вектор нормали n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1) = (-1, -1, 1).

Теперь найдем циркуляцию векторного поля a вдоль контура L:

C = ∮(a * dr) = ∮((xyi+yzj+xzk) * (-dx-dy+dz)) = ∮(x(-dx-dy+dz) + y(-dx-dy+dz) + x(-dx-dy+dz)) = ∮(x(-dx-dy+dz) + y(-dx-dy+dz) + x(-dx-dy+dz)).

Вычислить этот интеграл без уточнения формы контура нельзя.

б) По теореме Стокса циркуляция векторного поля a вдоль контура L равна интегралу от ротора этого поля по площади, ограниченной контуром L:

C = ∬(rot(a) * dS).

Ротор векторного поля a=xyi+yzj+xzk равен rot(a) = (∂(x)/∂y - ∂(y)/∂x, ∂(y)/∂z - ∂(z)/∂y, ∂(z)/∂x - ∂(x)/∂z) = (1-0, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1).

Таким образом, циркуляция векторного поля a вдоль контура L равна интегралу от ротора этого поля по площади, ограниченной контуром L:

C = ∬((1, 1, -1) * dS).

Вычислить этот интеграл без уточнения формы контура нельзя.