Question

Найти дивергенцию векторного поля a(M)=xy^2i+x^2yj+z^3k в точке M(1, -1, 3)

Answer 1

Ответ:

29

Пошаговое объяснение:

Дивергенцию поля найдем по формуле

$diva=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}= y^2+x^2+3z^2$

В точке М

$diva(M)=(-1)^2+1^2+3*3^2=29$ .

Answer 2

Дивергенция векторного поля $\mathbf{a} = xy^2\mathbf{i} + x^2y\mathbf{j} + z^3\mathbf{k}$ определяется как скалярное произведение градиента и данного векторного поля:

$\text{div}\, \mathbf{a} = \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(xy^2) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3)$.

Вычислим каждую из частных производных:

$\frac{\partial}{\partial x}(xy^2) = y^2 + 2xy$,

$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2 + 2xy$,

$\frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3z^2$.

Теперь подставим значения частных производных в выражение для дивергенции:

$\text{div}\, \mathbf{a} = (y^2 + 2xy) + (x^2 + 2xy) + 3z^2$.

В точке $M(1, -1, 3)$ подставим координаты:

$\text{div}\, \mathbf{a}(1, -1, 3) = (-1^2 + 2 \cdot 1 \cdot -1) + (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot -1) + 3 \cdot 3^2 = -1 - 2 + 1 - 2 + 27 = 23$.

Таким образом, дивергенция векторного поля $\mathbf{a}$ в точке $M(1, -1, 3)$ равна $23$.