Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения y"-4y'+4y=0, y(0)=3, y'(0)= -1 Помогите Пожалуйста !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

y=exp(2x)(3-7x)

Пошаговое объяснение:

Решаем сначала характеристическое уравнение

k²-4k+4=0, (k-2)²=0, корни cовпадают k₁=k₂=2

Общее решение имеет вид y=exp(2x)(Cx+D)

y(0)=D=3

y'=2exp(2x)(Cx+D)+Cexp(2x)

y'(0)=2D+С = -1 6+С=-1, С= -7

y=exp(2x)(3-7x)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с const коэффициентами. Для его решения, мы сначала найдем характеристическое уравнение, а затем используем начальные условия, чтобы найти коэффициенты интегрирования.

Характеристическое уравнение: Уравнение имеет вид y'' - 4y' + 4y = 0. Характеристическое уравнение связано с коэффициентами дифференциального уравнения следующим образом: r^2 - 4r + 4 = 0.

Решим это квадратное уравнение для r: (r - 2)^2 = 0, r - 2 = 0, r = 2 (корень кратности 2).

Частное решение: Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с const коэффициентами имеет вид: y(t) = c1 * e^(r1t) + c2 * t * e^(r2t),

где r1 и r2 - корни характеристического уравнения, c1 и c2 - произвольные константы.

Так как в данном случае r = 2 (кратности 2), то у нас есть только один корень, и частное решение можно записать как: y(t) = c1 * e^(2t) + c2 * t * e^(2t).

Используя начальные условия: y(0) = 3, y'(0) = -1,

подставим их в уравнение: y(0) = c1 * e^(20) + c2 * 0 * e^(20) = c1 = 3, y'(0) = 2 * c1 + c2 * 1 * e^(2*0) = 2 * 3 + c2 = -1, 6 + c2 = -1, c2 = -7.

Таким образом, получаем частное решение дифференциального уравнения: y(t) = 3 * e^(2t) - 7 * t * e^(2t).