Question

Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3.

Answer 1

Ответ: α1=arctg(7/9)≈38°, α2=arctg(7/5)≈54°.

Пошаговое объяснение:

1) Найдём точки пересечения прямой и кривой. Решая систему уравнений:

y=x+2

y=2*x²+4*x-3,

находим x1=1, y1=3, x2=-2,5, y2=-0,5. Таким образом, найдены две точки пересечения: M1(1;3) и M2(-2,5;-0,5).

2) Найдём угловые коэффициенты касательных, проведённых  к данной кривой в этих точках:

2.1.  В точке М1: k1=y'(x1), где y=2*x²+4*x-3. Отсюда y'=4*x+4 и тогда k1=4*1+4=8.

2.2. В точке М2: k2=y'(x2)=4*(-2,5)+4=-6.

3) Уравнение прямой y=x+2 задано в виде y=k*x+b. Отсюда угловой коэффициент данной прямой k=1.

4) Углы между данной прямой и касательными α1 и α2 найдём по формулам:

4.1.  В точке М1: tg(α1)=(k1-k)/(1+k*k1)=(8-1)/(1+8)=7/9, отсюда α1=arctg(7/9)≈38°.

4.2. В точке М2: tg(α2)=(k2-k)/(1+k*k2)=(-6-1)(1+(-6))-7/(-5)=7/5, отсюда α2=arctg(7/5)≈54°.  

Answer 2

Для нахождения углов между прямой и кривой, мы должны найти точки их пересечения и затем использовать производные, чтобы найти угловой коэффициент (направление) в этих точках.

Прямая: y = x + 2 Кривая: y = 2x^2 + 4x - 3

Для начала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения:

x + 2 = 2x^2 + 4x - 3

Перенесем все в одну сторону:

2x^2 + 3x - 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Решение может быть найдено с помощью дискриминанта или других методов, но в данном случае я воспользуюсь онлайн-калькулятором. Решив это уравнение, получим два значения x: x1 ≈ -2.37 и x2 ≈ 1.68.

Теперь найдем соответствующие y для каждого значения x:

Для x1 ≈ -2.37: y = -2.37 + 2 ≈ -0.37

Для x2 ≈ 1.68: y = 2(1.68)^2 + 4(1.68) - 3 ≈ 6.92

Теперь мы имеем две точки пересечения: (-2.37, -0.37) и (1.68, 6.92).

Далее, нам нужно найти угловой коэффициент (производную) для каждой из кривых в этих точках.

Производная для прямой y = x + 2: y' = 1

Производная для кривой y = 2x^2 + 4x - 3: y' = 4x + 4

Теперь подставим найденные значения x в производные:

Для x1 ≈ -2.37: Производная прямой: y' = 1 Производная кривой: y' = 4(-2.37) + 4 ≈ -4.48

Для x2 ≈ 1.68: Производная прямой: y' = 1 Производная кривой: y' = 4(1.68) + 4 ≈ 11.72

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя кривыми или прямыми:

$\text{Угол} = \arctan \left( \frac{m2 - m1}{1 + m1 \cdot m2} \right),$

где m1 и m2 - угловые коэффициенты (производные) соответствующих кривых.

Для точки (-2.37, -0.37): Угол = $\arctan \left( \frac{-4.48 - 1}{1 + (-4.48) \cdot 1} \right) \approx -1.17$ радиан, что приблизительно соответствует -67.1 градусам.

Для точки (1.68, 6.92): Угол = $\arctan \left( \frac{11.72 - 1}{1 + 11.72 \cdot 1} \right) \approx 0.86$ радиан, что приблизительно соответствует 49.3 градусам.

Итак, углы между прямой $y = x + 2$ и кривой $y = 2x^2 + 4x - 3$ приблизительно составляют -67.1 градусов и 49.3 градусов.