Question

Частица совершает простое гармоническое движение. Отклонение от центра колебания частицы равно x метрам в момент времени t секунд a) Покажите, что функция x=Acos6t+Bsin6t является общим решением дифференциального уравнения: (d^2 x)/(dt^2 )+36x=0 b) Частное решение дифференциального уравнения при t=π/4 такое, что x=-2 и dx/dt=12√3. Найдите значение A и значение B, определите это частное решение.

Answer 1

Ответ:

Находим

dx/dt=-6Asin6t+6Bcos6t и (d^2 x)/(dt^2 )=-36Acos6t-36Bsin6t

Выполняем подстановку: (d^2 x)/(dt^2 )+36x=0

-36(Acos6t+Bsin6t)+36x=0

-36x+36x=0

В результате получили тождество, а это означает, что функция x=Acos6t+Bsin6t является решением указанного дифференциального уравнения (d^2 x)/(dt^2 )+36x=0. Подставляем π/4 в x: Acos 3π/2+Bsin 3π/2=-2 и получаем B=2. Подставляем π/4 в dx/dt:-6Asin 3π/2+6Bcos 3π/2=12√3 и получаем A=2√3.

Ответ: x=2√3 cos6t+2sin6t частное решение.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

a) Для показания того, что функция $x = A\cos(6t) + B\sin(6t)$ является общим решением дифференциального уравнения $\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + 36x = 0$, мы должны сначала вычислить вторую производную $x$ по $t$ и подставить ее в уравнение, чтобы убедиться, что оно выполняется.

Первая производная $x$ по $t$: $\frac{{dx}}{{dt}} = -6A\sin(6t) + 6B\cos(6t)$

Вторая производная $x$ по $t$: $\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -6^2A\cos(6t) - 6^2B\sin(6t) = -36A\cos(6t) - 36B\sin(6t)$

Теперь мы можем подставить вторую производную $x$ в дифференциальное уравнение: $\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + 36x = (-36A\cos(6t) - 36B\sin(6t)) + 36(A\cos(6t) + B\sin(6t))$

Сокращаем подобные слагаемые: $-36A\cos(6t) - 36B\sin(6t) + 36A\cos(6t) + 36B\sin(6t) = 0$

Уравнение равно нулю, что подтверждает, что функция $x = A\cos(6t) + B\sin(6t)$ является общим решением дифференциального уравнения $\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + 36x = 0$.

b) Теперь, чтобы найти частное решение при $t = \frac{\pi}{4}$ с условиями $x = -2$ и $\frac{{dx}}{{dt}} = 12\sqrt{3}$, мы можем подставить эти значения в общее решение:

$x = A\cos(6t) + B\sin(6t)$

Подставим $t = \frac{\pi}{4}$:

$-2 = A\cos\left(6\cdot\frac{\pi}{4}\right) + B\sin\left(6\cdot\frac{\pi}{4}\right)$ $-2 = A\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + B\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Так как $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ и $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, у нас есть:

$-2 = -B$

Теперь, найдем производную $x$ и подставим $t = \frac{\pi}{4}$:

$\frac{{dx}}{{dt}} = -6A\sin\left(6\cdot\frac{\pi}{4}\right) + 6B\cos\left(6\cdot\frac{\pi}{4}\right)$ $\frac{{dx}}{{dt}} = -6A\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 6B\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$