Question

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y=2x-x², y=0 вокруг оси ОХ.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX, можно использовать метод цилиндрических оболочек. Формула для вычисления объема такого тела будет следующей:

$V = \int_{a}^{b} 2\pi x \cdot f(x) \, dx,$

где $f(x)$ - функция, задающая верхнюю границу фигуры (в данном случае это $f(x) = 2x - x^2$), а $a$ и $b$ - пределы интегрирования, то есть точки пересечения функций $f(x)$ и $g(x) = 0$.

Сначала найдем точки пересечения функций $f(x)$ и $g(x)$:

$2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2.$

Теперь мы можем вычислить объем:

$V = \int_{0}^{2} 2\pi x \cdot (2x - x^2) \, dx.$

Разложим выражение под знаком интеграла:

$V = 2\pi \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) \, dx.$

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$V = 2\pi \left( \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right) \bigg|_{0}^{2}$

$V = 2\pi \left( \frac{16}{3} - \frac{16}{4} - (0 - 0) \right)$

$V = 2\pi \left( \frac{16}{3} - 4 \right)$

$V = 2\pi \left( \frac{4}{3} \right)$

$V = \frac{8}{3}\pi.$

Итак, объем тела, полученного вращением данной фигуры вокруг оси OX, равен $\frac{8}{3}\pi$ кубических единиц.