Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2+1, y=x+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

-1≤x≤0

$\int\limits^0_1 ({-x-x^{2} )} \, dx =\frac{1}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность между ними.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых, то есть решения системы уравнений:

1. Уравнение кривой y = -x^2 + 1
2. Уравнение кривой y = x + 1

Приравнивая их:

-x^2 + 1 = x + 1

Перенесем все члены в одну сторону:

-x^2 - x = 0

x^2 + x = 0

x(x + 1) = 0

x = 0 или x = -1

Таким образом, точки пересечения находятся в (0, 1) и (-1, 0).

Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, можно воспользоваться интегралом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция (в данном случае y = x + 1), g(x) - нижняя функция (в данном случае y = -x^2 + 1), [a, b] - интервал интегрирования.

В данном случае интервал интегрирования будет от x = -1 до x = 0.

S = ∫[-1,0] ((x + 1) - (-x^2 + 1)) dx S = ∫[-1,0] (x + x^2) dx

Вычислим данный интеграл:

S = [x^2/2 + x^3/3] от -1 до 0 S = (0^2/2 + 0^3/3) - ((-1)^2/2 + (-1)^3/3) S = 0 - (-1/2 - 1/3) S = 0 - (-5/6) S = 5/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 5/6 квадратных единиц.