Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2+6x И y=2x+3

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное уравнение:

${-x}^{2}+6x=2x+3 \\ \\ {-x}^{2}+6x-2x-3=0 \\ \\ {-x}^{2}+4x-3=0 \\ \\ D=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4 \\ \\ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4+2}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1 \\ \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4-2}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3$

Теперь находим определённый интеграл. Это и будет ответом.

$\displaystyle \int\limits^3_1 {{-x}^{2}+4x-3} \, dx =\int\limits {{-x}^{2}} \, dx +\int\limits {4x} \, dx -\int\limits {3} \, dx=(-\dfrac{{x}^{3}}{3} +2{x}^{2}-3x)\Big|^3_1= \\ \\ =-\dfrac{27}{3}+18-9-(-\dfrac{1}{3}+2-3)=-9+9+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1+3}{3}=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}$

Ответ: $\Large{\boxed{S=1\dfrac{1}{3}}}$ ед².

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, затем определить интервал значений x, на котором одна из кривых находится выше другой. После этого можно интегрировать разность функций по этому интервалу, чтобы найти площадь между ними.

Сначала найдем точки пересечения двух кривых:

y = -x^2 + 6x y = 2x + 3

Приравниваем выражения для y и находим значение x:

-x^2 + 6x = 2x + 3 -x^2 + 4x - 3 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 4*(-1)*(-3) D = 16 - 12 D = 4

x = (-b ± √D) / 2a x = (-4 ± √4) / (2*(-1)) x = (4 ± 2) / 2 x = 3 или x = -1

Таким образом, точки пересечения кривых: x = 3 и x = -1.

Далее нужно определить интервалы значений x, на которых одна кривая находится выше другой. Мы заметим, что на интервале (-∞, -1) кривая y = 2x + 3 находится выше кривой y = -x^2 + 6x. На интервале (-1, 3) кривая y = -x^2 + 6x находится выше кривой y = 2x + 3. На интервале (3, +∞) снова кривая y = 2x + 3 находится выше кривой y = -x^2 + 6x.

Теперь мы можем интегрировать разность функций по соответствующим интервалам, чтобы найти площадь между кривыми:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

Где a и b - границы интервала, на котором одна кривая выше другой, f(x) - уравнение кривой, находящейся выше, и g(x) - уравнение кривой, находящейся ниже.

Подставляя значения и интегрируя по соответствующим интервалам, мы можем найти площадь. Обратите внимание, что площадь между кривыми на интервале (-1, 3) будет отрицательной из-за того, что кривая y = 2x + 3 находится ниже кривой y = -x^2 + 6x на этом интервале.

Интегрирование точных выражений для функций и их разности может быть сложной задачей. Если вам нужен точный численный ответ, я могу воспользоваться программами для символьного вычисления, такими как Python с библиотекой SymPy.