Question

2. 10 различных шаров случайно распределяются по 4 ящикам. Найти вероятность того, что 4 шара попадут в один ящик, 1 попадет в другой, 3 попадут в третий и 2 попадут в оставшийся ящик.

Answer 1

Число размещений 10 шаров по 4 ящикам равно 4^10

Число способов выбрать ящики

p(1;1;1;1) = 4!

10 шаров можно разместить по 4 ящикам указанным способом

p(4;3;2;1)  = 10! / (4!*3!*2!*1!)  - способами

где p - мультиноминальный коэффициент .

Искомая вероятность

P = p(1;1;1;1) * p(4;3;2;1) / 4^10 =  4! *10!  / (4!*3!*2!*1!)  / 4^10 = 0,2884

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики. Сначала определим всего количество способов разместить 10 шаров в 4 ящиках без каких-либо ограничений.

Общее количество способов разместить 10 шаров в 4 ящиках равно 4^10, так как каждый из 10 шаров может быть помещен в один из 4 ящиков, и у нас есть 4 возможных выбора для каждого шара.

Теперь давайте рассмотрим количество способов, при которых 4 шара попадут в один ящик, 1 шар попадет в другой, 3 шара попадут в третий и 2 шара попадут в оставшийся ящик.

• Выбираем ящик для 4 шаров: 4 способа.
• Выбираем ящик для 1 шара: 3 оставшихся ящика для выбора.
• Выбираем ящик для 3 шаров: 2 оставшихся ящика для выбора.
• Последний ящик автоматически получает 2 оставшихся шара.

Итак, общее количество способов разместить шары согласно вашим условиям составляет: 4 * 3 * 2 = 24 способа.

Теперь можем найти вероятность, разделив количество способов с желаемым распределением на общее количество способов размещения без ограничений: Вероятность = (Количество способов с желаемым распределением) / (Общее количество способов) Вероятность = 24 / 4^10

Однако вычисление этой дроби может быть достаточно громоздким. Поэтому для приближенного рассчёта вероятности, можно воспользоваться биномиальным распределением, так как ситуация напоминает размещение с возвращением (поскольку после размещения шары не убираются из ящиков).

Давайте рассчитаем это с помощью биномиального распределения:

n - количество попыток (шаров) = 10 k - количество успешных исходов (шаров в одном ящике) = 4 p - вероятность успешного исхода (попадание шара в выбранный ящик) = 1/4

Тогда вероятность этого события будет равна: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k.

Подставив значения: P(X = 4) = C(10, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^(10-4)

C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 210

Подсчитав это выражение, вы получите приближенную вероятность события, когда 4 шара попадут в один ящик, 1 попадет в другой, 3 попадут в третий и 2 попадут в оставшийся ящик.