Question

Решить задачу Коши: dy/dx*cos^2x+y=tg(x) ; y(0)=0

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Коши, так как задано начальное условие y(0) = 0. Давайте найдем его решение.

Исходное уравнение: dy/dx * cos^2(x) + y = tan(x)

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Сначала выразим уравнение в форме, подходящей для применения этого метода:

dy/dx * cos^2(x) = tan(x) - y

Теперь определим интегрирующий множитель. Множитель можно найти, разделив обе стороны уравнения на коэффициент при производной:

M(x) = 1/cos^2(x)

Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

1/cos^2(x) * dy/dx * cos^2(x) = 1/cos^2(x) * (tan(x) - y)

dy/dx = tan(x)/cos^2(x) - y/cos^2(x)

dy/dx = sec^2(x) - y/cos^2(x)

Теперь это уравнение легко решается методом разделяющихся переменных:

dy/(sec^2(x) - y/cos^2(x)) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫dy/(sec^2(x) - y/cos^2(x)) = ∫dx

∫(cos^2(x)/cos^2(x)) dy/(sec^2(x) - y/cos^2(x)) = ∫dx

∫(cos^2(x) dy)/(1 - y) = ∫dx

Затем интегрируем обе стороны:

∫(cos^2(x) dy)/(1 - y) = x + C

Теперь решим интеграл слева. Для этого воспользуемся заменой переменной: u = 1 - y, du = -dy. При этом, когда y = 0, u = 1, а когда y = 1, u = 0.

-∫(cos^2(x) du)/u = x + C

∫(cos^2(x) du)/u = -x + C

Теперь интегрируем по переменной u:

∫(cos^2(x) du)/u = -x + C

∫cos^2(x) du/u = -x + C

Теперь решим интеграл с помощью интеграла Бернулли:

∫cos^2(x) du/u = -x + C

∫(1 + cos(2x))/2 du/u = -x + C

(1/2)∫du/u + (1/2)∫cos(2x) du/u = -x + C

(1/2)ln|u| + (1/4)∫cos(2x) du = -x + C

(1/2)ln|u| + (1/4)(1/2)sin(2x) = -x + C

(1/2)ln|u| + (1/8)sin(2x) = -x + C

Подставляем обратную замену: u = 1 - y

(1/2)ln|1 - y| + (1/8)sin(2x) = -x + C

(1/2)ln|1 - y| = -x - (1/8)sin(2x) + C

ln|1 - y|^(1/2) = -x - (1/8)sin(2x) + C

|1 - y|^(1/2) = e^(-x) * e^(-(1/8)sin(2x)) * e^C

|1 - y|^(1/2) = K * e^(-x) * e^(-(1/8)sin(2x))

где K = e^C.

Теперь избавимся от модуля, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

1 - y = K^2 * e^(-2x) * e^(-1/4)sin(2x)

Теперь решим это уравнение относительно y:

y = 1 - K^2 * e^(-2x) * e^(-1/4)sin(2x)

Используя начальное условие y(0) = 0, найдем значение K:

0 = 1 - K^2 * e^(0) * e^(-1/4)sin(2*0)

0 = 1 - K^2 * e^(-1/4) * 0

Так как выражение справа равно 0, то K может быть любым числом. Пусть K = 1 (по выбору).

Таким образом, окончательное решение:

y = 1 - e^(-2x) * e^(-1/4)sin(2x)

y = 1 - e^(-2x) * sqrt(e^(-1/2)sin(2x))

Пожалуйста, обратите внимание, что решение может содержать ошибки, и его следует проверить.