Question

Помогите пожалуйста .1.Дана функция y=3x²-2x Составьте уравнение касательной и нормали к графику этой функции в точке с абсциссой Xo=-2 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x², y=0, x=-1, x=2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

уравнение прямой, проходящей через точку

y = y(х₀) + y'(x₀)(x - x₀)

По условию задачи x₀ = -2,

найдем тогда y(х₀) = 16

Теперь найдем производную:

y' = (3*x2-2*x)' = 6x-2

у'(-2) = 6*(-2)-2 = -14

теперь все подставим в уравнение касательной и получим

y=16+(-14)(x--2) ;

y = -14x-12

теперь нормаль

общий вид нормали

$y= y(x_{0} - \frac{1}{y'(x_{0} )} (x-x_{0} )$

все данные у нас есть, поэтому запишем сразу уравнение нормали

$y= 16 - \frac{1}{-14} (x+2) = \frac{x}{14} - \frac{113}{7}$

2)  y₁=2x², y₂=0, x₁=-1, x₂=2

площадь фигура равна

$\int\limits^{x_{2} }_{x_{1} } {(y_{1}-y_{2} )} \, dx$

поскольку у нас все есть, просто считаем определенный интеграл

$\int\limits^{2 }_{-1} } {(2x^{2} )} \, dx = \frac{2x^{3} }{3} I_{-1} ^{2} = \frac{2*2^{3} }{3} -\frac{2*(-1)^{3} }{3} = 6$

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этими задачами.

Задача 1: Уравнение касательной и нормали

Для нахождения уравнения касательной и нормали к графику функции y = 3x² - 2x в точке с абсциссой X₀ = -2, давайте начнем с нахождения производной функции по x:

y = 3x² - 2x y' = 6x - 2

Подставляя x₀ = -2 в производную, получаем угловой коэффициент касательной:

m (угловой коэффициент касательной) = y'(x₀) = 6 * (-2) - 2 = -14

Теперь мы можем использовать уравнение прямой в точечной форме:

y - y₁ = m(x - x₁)

Подставляя значения, получаем уравнение касательной:

y - y₁ = -14(x - x₁) y + 2 = -14(x + 2) y = -14x - 28

Уравнение нормали будет иметь угловой коэффициент, который является отрицательным обратным к угловому коэффициенту касательной:

m (угловой коэффициент нормали) = -1 / m(касательной) = -1 / -14 = 1/14

Используя точку (-2, f(-2)) на графике функции, где f(-2) = 3 * (-2)² - 2 * (-2) = 20:

y - y₁ = m(x - x₁) y - 20 = 1/14(x + 2) y = 1/14x + 20 + 2 y = 1/14x + 22

Задача 2: Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена линиями y = 2x², y = 0, x = -1 и x = 2. Эта фигура представляет собой параболу и отрезки прямых. Для вычисления площади, нам нужно вычислить интеграл функции, представляющей верхнюю границу фигуры (2x²) минус нижнюю границу (0) вдоль x от -1 до 2:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя граница - нижняя граница) dx Площадь = ∫[-1, 2] (2x² - 0) dx

Интегрируя, получаем:

Площадь = [2/3 * x³] от -1 до 2 Площадь = (2/3 * 2³) - (2/3 * (-1)³) Площадь = (16/3) + (2/3) Площадь = 18/3 Площадь = 6

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = 2x², y = 0, x = -1 и x = 2 равна 6 квадратным единицам.