Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченными линиями : y=x^2-4x-5; y=0

Answer 1

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями :   y=x²-4x-5; y=0.

                *                            *                             *

1. Найдём точки пересечения оси абсцисс с графиком.

Для этого необходимо приравнять данные функции и решить полученное квадратное уравнение.

x² - 4x - 5 = 0 ⇒ (x - 5) * (x + 1) = 0 ⇒ x₁ = 5, x₂ = -1.

2. Вычислим определённый интеграл.

В нашем случае определённый интеграл - решение данной задачи.

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

∫ᵇₐ f(x) dx = F(b) - F(a) (где b = 5, a = -1).

Так как формулы для решения задачи найдены, остаётся только подставить числовые значения и решить полученный интеграл.

∫⁵₋₁ - x² + 4x + 5 dx = (-(x³/3) + 2x² + 5x)|⁵₋₁ =

= -(5³/3) + 2 * 5² + 5 * 5 - (((-1)³)/3 + 2 * (- 1)² + 5 * (- 1)) =

= - (125/3) + 50 + 25 - (- (8/3)) = - (39 - 75) = 36 ед.кв.

Ответ : площадь данной фигуры равна 36 ед.кв.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 4x - 5 и y = 0, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить интеграл площади между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения:

y = x^2 - 4x - 5 y = 0

Подставляем y = 0 в уравнение первой функции:

0 = x^2 - 4x - 5

Решаем это квадратное уравнение:

x^2 - 4x - 5 = 0

Применяя квадратное уравнение, находим два значения x:

x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 * 1 * -5)) / (2 * 1) x = (4 ± √(16 + 20)) / 2 x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2

Таким образом, x = 5 или x = -1.

Теперь используем найденные значения x, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 5: y = 5^2 - 4 * 5 - 5 = 25 - 20 - 5 = 0

Для x = -1: y = (-1)^2 - 4 * (-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0

Таким образом, точки пересечения графиков функций находятся при x = 5 и x = -1, и обе точки имеют y-координату 0.

Теперь мы можем вычислить интеграл площади между этими точками:

Площадь = ∫[x=-1 to x=5] (x^2 - 4x - 5) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [(x^3 / 3) - 2x^2 - 5x] от -1 до 5 Площадь = [(5^3 / 3) - 2 * 5^2 - 5 * 5] - [((-1)^3 / 3) - 2 * (-1)^2 - 5 * (-1)] Площадь = [125/3 - 50 - 25] - [-1/3 - 2 + 5] Площадь = 125/3 - 50 - 25 + 1/3 + 2 - 5 Площадь = 50/3 - 72/3 + 1/3 - 3 Площадь = -24/3 - 2 Площадь = -8 - 2 Площадь = -10

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 4x - 5 и y = 0, равна -10 квадратным единицам.