Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2x^2-6 и линией y=12. Ответ 72, но как это решается?

Answer 1

Ответ:

72

Пошаговое объяснение:

Для начала найдем абсциссы точек пересечения графиков функций

$2x^2-6=12 => 2x^2=18 => x^2=9=> x=\pm 3$

Площадь найдем как разность площадей под верхним и нижним графиком, проще говоря как разность соответствующих определенных интегралов

$S=\int\limits^3_{-3} {12} \, dx- \int\limits^3_{-3} {(2x^2-6)} \, dx=\int\limits^3_{-3} {(12-2x^2+6)} \, dx= \int\limits^3_{-3} {(18-2x^2)} \, dx=$

$=(18x-\frac{2}{3}x^3)|_{-3}^3=18*3-\frac{2}{3}*3^3-(18*(-3)-\frac{2}{3}(-3)^3 )=72$.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры между параболой y = 2x^2 - 6 и линией y = 12, необходимо найти точки их пересечения, а затем найти площадь между ними.

Сначала найдем точки пересечения параболы и линии:

1. Подставим y = 12 в уравнение параболы и решим уравнение относительно x:

   12 = 2x^2 - 6 2x^2 = 18 x^2 = 9 x = ±3

Таким образом, парабола и линия пересекаются при x = -3 и x = 3.

Теперь мы знаем, что интеграл будет браться от x = -3 до x = 3. Площадь между кривыми можно найти, вычислив интеграл от разности их уравнений по этому интервалу:

Площадь = ∫(от -3 до 3) [ (12 - (2x^2 - 6)) ] dx

Площадь = ∫(от -3 до 3) (18 - 2x^2) dx

Раскроем интеграл:

Площадь = [ 18x - (2/3)x^3 ] (от -3 до 3)

Площадь = (183 - (2/3)3^3) - (18(-3) - (2/3)(-3)^3)

Площадь = (54 - 54) - (-54 + 18)

Площадь = 0 + 72

Площадь = 72

Таким образом, площадь фигуры ограниченной параболой y = 2x^2 - 6 и линией y = 12 действительно равна 72.