Question

На доске написаны 2020 различных натуральных чисел, таких, что сумма любых двух делится на 366. Какое наименьшее количество чисел кратных 366 может быть среди них? Решите пожалуйста срочно надо

Answer 1

Ответ: 0

Пошаговое объяснение:

Возьмем из данных 2020 чисел одно число.

Пусть это число  не делится на 366 и дает при делении на 366 остаток p1.

( 0<=p1<=365) .  

Поскольку, сумма любых двух делится на 366, то если сложить взятое число со всеми остальными, то все эти суммы  будут делится на 366.

Таким образом,  для остатков от деления на 366 всех чисел  верно:  

pk+ pn = 366   ( pk+pn<=365*2 <366*2)

k,n- натуральные числа (индексы)

Возьмем первые три остатка:

p1+p2 = 366

p1+p3 = 366

p2+p3 =366

Очевидно,  что  решение этой системы : p1=p2=p3 =366/2 = 183

Таким образом, очевидно, что : p1=p2=p3...=p2020=183

То есть среди данных 2020 натуральных чисел может быть ни одного числа кратного 366.  Но они все должны давать при делении на 366 остаток 183.

В качестве примера, можно взять арифметическую прогрессию с 2020 членами. C первым членом равным 183 и разностью прогрессии 366 . Если хотя бы одно из чисел делится на 366 , тогда и все остальные числа так же должны делится на 366,  поскольку сумма числа делящегося на 366 и не делящегося на 366 не делится на 366.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

У нас есть 2020 различных натуральных чисел, и сумма любых двух из них делится на 366. Мы хотим найти наименьшее количество чисел кратных 366 среди этих 2020 чисел.

Мы знаем, что если сумма двух чисел делится на 366, то каждое из этих чисел также делится на 366. То есть, если у нас есть два числа a и b, и a + b делится на 366, то и a и b должны быть кратны 366.

Теперь давайте рассмотрим суммы различных чисел. Если у нас есть 2020 различных чисел, то у нас будет 2020 * 2019 / 2 различных сумм (это количество попарных комбинаций). Таким образом, у нас есть 2020 * 2019 / 2 = 2,040,090 различных сумм.

Мы знаем, что каждая из этих сумм делится на 366. Теперь давайте поделим общее количество сумм (2,040,090) на 366:

2,040,090 / 366 ≈ 5582.21

Значит, мы можем сделать вывод, что наименьшее количество чисел кратных 366 среди этих 2020 чисел - это 5583 числа (так как нельзя иметь доли числа, то мы округлили результат в большую сторону до целого числа).