Question

На доске написаны 2020 различных натуральных чисел, таких, что сумма любых двух делится на 366. Какое наименьшее количество чисел кратных 366 может быть среди них? Решите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

Пусть дана последовательность чисел $a_n=183+366n$, где n — номер числа. Возьмём два произвольных числа с порядковыми номерами n₁ и n₂:

$\dfrac{183+366n_1+183+366n_2}{366}=\dfrac{366+366(n_1+n_2)}{366}=n_1+n_2+1$

Значит, в этой последовательности сумма любых двух чисел делится на 366. При этом ни одно из чисел не делится на 366:

$\dfrac{183+366n}{366}=\dfrac{1}{2}+n$, n — целое, а 0,5 — нет, значит, результат всегда будет не целым.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип Дирихле, так как в условии присутствует условие на делимость суммы двух чисел.

Рассмотрим остатки чисел при делении на 366. Поскольку сумма любых двух чисел должна быть кратна 366, то сумма остатков этих чисел также должна быть кратна 366.

Остатки могут быть следующими: 0, 1, 2, ..., 365.

Для того, чтобы сумма остатков была кратна 366, необходимо, чтобы среди них были два числа с одинаковыми остатками при делении на 366. Это происходит из-за принципа Дирихле, который утверждает, что если n+1 объектов распределить по n ящикам, то в каком-то ящике будет содержаться хотя бы два объекта.

Таким образом, для минимального количества чисел, кратных 366, достаточно выбрать 366 чисел с одинаковыми остатками.

Ответ: наименьшее количество чисел, кратных 366, может быть 366.