Question

2sin²(π/2+x) - √2 cos x = 0 А) найти корни. Б) [-3π ; -3π/2]

Answer 1

2sin²(π/2+x)-√2 cos x= 0

2cos²x-√2cosx=0

√2cosx*(√2cosx-1)=0

cosx=0; х=π/2+πk; k∈Z

√2cosx-1=0; x=±arccos(1/√2)+2πn; n∈Z ; x=±π/4+2πn; n∈Z ;

1) х∈[-3π ; -3π/2] нас интересуют корни, которые  попадут на указанный отрезок.

х=π/2+πk; k∈Z; при к =0 и положительных нет смысла проверять; берем к=-3; х=π/2-3π=-2.5π ∈[-3π ; -3π/2] ; к=-2; х=π/2-2π=-1.5π

∈[-3π ; -3π/2];

2) x=π/4+2πn;  n=-1; x=π/4-2π=-7/π/4;∈[-3π ; -3π/2];

3)  x=-π/4+2πn;  n=-1; x=-π/4-2π=-9/π/4;∈[-3π ; -3π/2];

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку:

А) Найдем корни уравнения:

Уравнение: 2sin²(π/2+x) - √2 cos x = 0

Перепишем sin²(π/2+x) как cos²x (это следует из тригонометрической идентичности sin(π/2 + x) = cos(x)):

2cos²x - √2 cos x = 0

Теперь факторизуем уравнение, вынесем общий множитель cos x:

cos x (2cos x - √2) = 0

Так как cos x = 0 имеет корни вида x = π/2 + kπ, где k - целое число, то мы сосредоточимся на решении 2cos x - √2 = 0.

Решим уравнение относительно cos x:

2cos x - √2 = 0 2cos x = √2 cos x = √2 / 2 x = π/4 + 2kπ или x = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Итак, корни уравнения 2sin²(π/2+x) - √2 cos x = 0: x = π/4 + 2kπ или x = 7π/4 + 2kπ.

Б) Теперь давайте проверим, лежат ли корни в интервале [-3π, -3π/2].

Для x = π/4 + 2kπ: -3π ≤ π/4 + 2kπ ≤ -3π/2 -3π - π/4 ≤ 2kπ ≤ -3π/2 - π/4 -13π/4 ≤ 2kπ ≤ -11π/4

Учитывая, что k - целое число, такой выбор k, чтобы выполнялось неравенство, будет весьма ограничен.

Для x = 7π/4 + 2kπ: -3π ≤ 7π/4 + 2kπ ≤ -3π/2 -3π - 7π/4 ≤ 2kπ ≤ -3π/2 - 7π/4 -19π/4 ≤ 2kπ ≤ -17π/4

Аналогично, нахождение целых k для выполнения неравенства будет ограничено.

Таким образом, анализируя оба случая, мы можем утверждать, что уравнение не имеет корней в интервале [-3π, -3π/2].

Итак, ответ: А) Корни уравнения: x = π/4 + 2kπ или x = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число. Б) Уравнение не имеет корней в интервале [-3π, -3π/2].