Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=-2x^2+5x,y=0. Если не увидите ответа, то знайте, я уже отчислен(

Answer 1

$y=-2x^2+5x, y=0;S=?\\-2x^2+5x=0|:(-1)\\2x^2-5x=0\\x*(2x-5)=0\\x_1=0\\2x-5=0\\3x=5|:2\\x=2,5.\\S=\int\limits^{2,5}_0 {(-2x^2+5x-0)} \, dx =\int\limits^{2,5}_0 {(5x-2x^2)} \, dx =(\frac{5x^2}{2}-\frac{2x^3}{3})|_0^{2,5}=\\ =\frac{5*2,5^2}{2} -\frac{2*2,5^3}{3}-(\frac{5*0^2}{2}-\frac{2*0^3}{3})=2,5*2,5^2-\frac{2}{3} *2,5^3=2,5^3-\frac{2}{3}*2,5^3=\frac{1}{3}*(2\frac{1}{2}) ^3=\frac{1}{3}*(\frac{5}{2})^3= \frac{1}{3}*\frac{125}{8}=\frac{125}{24}=5\frac{5}{24} .$

Ответ: S=125/24≈5,0833 кв.ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти точки их пересечения. После этого можно будет вычислить интеграл площади между кривыми. В данном случае, когда y=0, это будет площадь между кривой у=-2x^2+5x и осью x.

Сначала найдем точки пересечения:

-2x^2+5x = 0

x(5 - 2x) = 0

x = 0 или x = 5/2

Теперь находим соответствующие y-координаты:

При x = 0: y = -2(0)^2 + 5(0) = 0

При x = 5/2: y = -2(5/2)^2 + 5(5/2) = -25/2 + 25/2 = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (5/2, 0).

Теперь находим интеграл площади между кривой и осью x:

S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где a = 0 и b = 5/2, а f(x) = -2x^2 + 5x.

S = ∫[0, 5/2] |-2x^2 + 5x| dx

Давайте разобьем интеграл на две части, чтобы избавиться от модуля:

S = ∫[0, 5/2] (-2x^2 + 5x) dx + ∫[0, 5/2] (2x^2 - 5x) dx

Теперь вычислим интегралы:

∫ (-2x^2 + 5x) dx = (-2/3)x^3 + (5/2)x^2 |[0, 5/2] = (-2/3)(5/2)^3 + (5/2)(5/2)^2 - 0 = -125/12 + 125/8 = 125/24

∫ (2x^2 - 5x) dx = (2/3)x^3 - (5/2)x^2 |[0, 5/2] = (2/3)(5/2)^3 - (5/2)(5/2)^2 - 0 = 125/6 - 125/8 = 25/24

Теперь сложим оба интеграла:

S = (125/24) + (25/24) = 150/24 = 25/4

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой у=-2x^2+5x и осью x, равна 25/4 или 6.25 (в десятичном виде).