Question

Решите диф.уравнение,пожалуйста ! 6x^5dx-2ydy=2yx^6dy

Answer 1

Ответ:

ответ смотри на фото, надеюсь понятно

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Давайте начнем с выражения его в стандартной форме:

$6x^5 dx - 2y dy = 2yx^6 dy.$

Перенесем все члены, содержащие $y$ на одну сторону уравнения:

$6x^5 dx - 2yx^6 dy - 2yx^6 dy = 0.$

Упростим выражение:

$6x^5 dx - 4yx^6 dy = 0.$

Теперь разделим обе стороны уравнения на $2x^5$:

$3dx - 2y \frac{dy}{x} = 0.$

Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение в виде:

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x}.$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения выполним следующие шаги:

$\frac{dy}{y} = \frac{3}{2} \cdot \frac{dx}{x}.$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{y} \, dy = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x} \, dx.$

Интегралы слева и справа:

$\ln|y| = \frac{3}{2} \ln|x| + C,$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выразим $y$ через $x$ и постоянную $C$:

$|y| = e^{\frac{3}{2} \ln|x| + C} = e^C \cdot e^{\frac{3}{2} \ln|x|} = k \cdot x^{\frac{3}{2}},$

где $k = e^C$.

Так как абсолютное значение может принимать любой знак, мы можем включить его в константу $k$:

$y = k \cdot x^{\frac{3}{2}}.$

Это общее решение данного дифференциального уравнения.