Question

Найти площадь области меньшую из площадей ограниченной линиями x^2+y^2=4,x^2+y^2=5,y=x,y=0

Answer 1

Ответ:

π\8

Пошаговое объяснение:

x^2+y^2=4 это окружность с центром (0;0) и радиусом 2.

x^2+y^2=5 это окружность с центром (0;0) и радиусом √5. √5>2=√4.

y=x прямая , является биссектрисой 1 координатной четверти, угол между прямой и положительным направлением оси ох 45°.

y=0 ось ох.

Меньшая площадь  данного сектора между окружностями.

S( сектора)= (π* r²*α)/360.

S=S(б)-S(м)=(π* √5²*45°)/360°- (π*2²*45°)/360°=π*45°\360°=π\8

Answer 2

Для того чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями и кривыми, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых:

   • Пересечение x^2 + y^2 = 4 и x^2 + y^2 = 5: Эти кривые представляют собой две окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусами 2 и √5 соответственно. Они пересекаются в двух точках: (±√5, ±√5).
   • Пересечение y = x и y = 0: Эти прямые пересекаются в точке (0, 0).

2. Определить, какие из найденных точек лежат внутри заданных кривых. Известно, что точка (0, 0) лежит внутри всех кривых.

3. Разделить область на подобласти, определенные пересечением кривых.

4. Вычислить площадь каждой подобласти, используя интеграл.

5. Найти наименьшую из вычисленных площадей.

Подробно рассчитаем площадь каждой из подобластей:

Подобласть 1: Это треугольник, ограниченный прямыми y = x, y = 0 и окружностью x^2 + y^2 = 4. Этот треугольник можно представить как интеграл по переменной x от 0 до 2:

Площадь подобласти 1 = ∫[0, 2] (x - 0) dx = ∫[0, 2] x dx = [x^2/2] from 0 to 2 = 2^2/2 - 0 = 2.

Подобласть 2: Это круг с радиусом √5, ограниченный окружностью x^2 + y^2 = 5. Площадь этого круга вычисляется как:

Площадь подобласти 2 = π * (радиус)^2 = π * (√5)^2 = 5π.

Сравнив площади, видим, что площадь подобласти 1 (треугольника) равна 2, а площадь подобласти 2 (круга) равна 5π.

Следовательно, наименьшая площадь из ограниченных областей равна 2.