Question

Срочно!! Найти общий интеграл дифференциального уравнения 2xdx-2ydy=x^2ydy-2xy^2dx

Answer 1

Ответ:

$2xdx - 2ydy = {x}^{2}ydy - 2x {y}^{2} dx \\ 2ydy + {x}^{2} ydy = 2xdx + 2x {y}^{2} dx \\ y(2 + {x}^{2} )dy = 2x(1 + {y}^{2} )dx \\ \int\limits \frac{ydy}{ {y}^{2} + 1 } = \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} + 2 } \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2ydy}{ {y}^{2} + 1} = \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 2) }{ {x}^{2} + 2 } \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {y}^{2} + 1)}{ {y}^{2} + 1 } = ln( {x}^{2} + 2) + ln(C) \\ \frac{1}{2} ln( {y}^{2} + 1) = ln( {x}^{2} + 2) + ln(c) \\ ln( {y}^{2} + 1 ) = 2 ln(C( {x}^{2} + 2)) \\ {y}^{2} + 1 = C {( {x}^{2} + 2) }^{2} \\ {y}^{2} = C {( {x}^{2} + 2) }^{2} - 1$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения, которое вы предоставили, необходимо провести интегрирование от обеих сторон уравнения. Давайте решим его шаг за шагом:

Исходное уравнение: 2xdx - 2ydy = x^2ydy - 2xy^2dx

Разделим обе части на x^2y: (2x/x^2y)dx - (2y/x^2y)dy = (x^2y/x^2y)dy - (2xy^2/x^2y)dx

Упрощаем: (2/x^2)dx - (2/y^2)dy = dy - (2/x)dx

Приведем подобные дифференциалы в каждой части: (2/x^2 - 2/y^2)dx = (1 - 2/x)dy

Теперь проинтегрируем обе части по соответствующим переменным:

∫(2/x^2 - 2/y^2)dx = ∫(1 - 2/x)dy

Для первого интеграла в левой части воспользуемся правилом интегрирования 1/x^n, где n ≠ 1:

∫(2/x^2 - 2/y^2)dx = -2/x + 2/y + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Для второго интеграла в правой части просто интегрируем по y:

∫(1 - 2/x)dy = y - (2/x)y + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет:

-2/x + 2/y + C1 = y - (2/x)y + C2.

Можно провести дальнейшие преобразования для выражения уравнения относительно y, если требуется решение в явном виде.