Question

Докажите что число n (n^2-4)(n^2-1) делится на 120 при любом целом значение n.

Answer 1

$n(n^2-4)(n^2-1)=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)=\\ \\ =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Данное выражение представляет собой произведение 5-ти последовательных целых чисел. Из этих чисел, хотя бы одно делится на 1, на 2, на 3, на 4 и на 5.

А значит исходное выражение делится и на произведение 1*2*3*4*5=120 - ч.т.д

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n(n^2-4)(n^2-1)$ делится на 120 при любом целом значении $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для $n=1$ и $n=2$ значение выражения равно нулю:

• При $n=1$: $1(1^2-4)(1^2-1) = -3 \cdot 0 = 0$.
• При $n=2$: $2(2^2-4)(2^2-1) = 0 \cdot 3 = 0$.

Оба значения делятся на 120.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для какого-то целого $k$, то есть $k(k^2-4)(k^2-1)$ делится на 120.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$. Рассмотрим выражение $(k+1)((k+1)^2-4)((k+1)^2-1)$: $(k+1)((k+1)^2-4)((k+1)^2-1) = (k+1)(k^2+2k+1-4)(k^2+2k+1-1)$ $= (k+1)(k^2+2k-3)(k^2+2k)$.

По предположению индукции, $k(k^2-4)(k^2-1)$ делится на 120, следовательно, $k(k^2-4)(k^2-1) = 120m$ для некоторого целого $m$.

Теперь рассмотрим выражение $k+1$: $k+1$ всегда является четным или кратным 2, а также $k^2+2k-3$ и $k^2+2k$ также четные.

Следовательно, $(k+1)(k^2+2k-3)(k^2+2k)$ является произведением трех четных чисел, а значит, оно делится на $2^3 = 8$.

Поскольку $k(k^2-4)(k^2-1)$ делится на 120 (или $k(k^2-4)(k^2-1) = 120m$), а $(k+1)(k^2+2k-3)(k^2+2k)$ делится на 8, то их произведение делится на $120 \times 8 = 960$.

Таким образом, по принципу математической индукции можно сделать вывод, что выражение $n(n^2-4)(n^2-1)$ делится на 120 при любом целом значении $n$.