Question

Решите квадратное уравнение, содержащее переменную под знаком модуля : 4) x^2-2|x-1|-15=0

Answer 1

Раскрываем модуль по определению:

если    $x-1\geq 0,$    то    $|x-1|=x-1$

Уравнение принимает вид:

$x^2-2(x-1)-15=0$

$x^2-2x-13=0$

$D=(-2)^2-4\cdot (-13)=56$

$\sqrt{D}=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14} =2\sqrt{14}$

$x_{1}=\frac{2-2\sqrt{14} }{2}=1-\sqrt{14}$     или    $x_{2}=\frac{2+2\sqrt{14} }{2}=1+\sqrt{14}$

$x_{1}$   не удовлетворяет условию     $x-1\geq 0$

если    $x-1$    то    $|x-1|=-(x-1)$

Уравнение принимает вид:

$x^2+2(x-1)-15=0$

$x^2+2x-17=0$

$D=2^2-4\cdot (-17)=72$

$\sqrt{D} =\sqrt{72} =6\sqrt{2}$

$x_{3}=\frac{-2-6\sqrt{2} }{2}=-1-3\sqrt{2}$     или    $x_{4}=\frac{-2+6\sqrt{2} }{2}=-1+3\sqrt{2}$

$x_{4}$   не удовлетворяет условию     $x-1 < 0$

О т в е т.$-1-3\sqrt{2}$  ;   $1+\sqrt{14}$.

Answer 2

Ответ:

$\[x = \{ - 1 - 3\sqrt 2 ;1 + \sqrt {14} \} \]$$\[x = \{ - 1 - 3\sqrt 2 ;1 + \sqrt {14} \} \]$

Пошаговое объяснение:

$\[\begin{array}{l}{x^2} - 2|x - 1| - 15 = 0\\{x^2} - 15 = 2|x - 1|\\\left\{ \begin{array}{l}{({x^2} - 15)^2} = {(2(x - 1))^2}\\{x^2} - 15 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{({x^2} - 15)^2} - {(2(x - 1))^2} = 0\\{x^2} \ge 15\end{array} \right.\end{array}\]$

$\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} - 15 - 2(x - 1)} \right)\left( {{x^2} - 15 + 2(x - 1)} \right) = 0\\ - \sqrt {15} \le x \le \sqrt {15} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} - 2x - 13} \right)\left( {{x^2} + 2x - 17} \right) = 0\\ - \sqrt {15} \le x \le \sqrt {15} \end{array} \right.\end{array}\]$

$\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \{ 1 \pm \sqrt {14} ; - 1 \pm 3\sqrt 2 \} \\ - \sqrt {15} \le x \le \sqrt {15} \end{array} \right.\\x = \{ - 1 - 3\sqrt 2 ;1 + \sqrt {14} \} \end{array}\]$

Answer 3

Для решения данного квадратного уравнения, содержащего переменную под знаком модуля, мы можем разбить его на несколько случаев, в зависимости от значения выражения внутри модуля.

1. Если выражение внутри модуля (x - 1) больше или равно нулю (x - 1 ≥ 0), то модуль не влияет на уравнение, и мы можем записать его как: x^2 - 2(x - 1) - 15 = 0

   Упрощая: x^2 - 2x + 2 - 15 = 0 x^2 - 2x - 13 = 0

   Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Однако, используя квадратный корень, мы получим более точное решение: x = (2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-13))) / (2 * 1) x = (2 ± √(4 + 52)) / 2 x = (2 ± √56) / 2 x = (2 ± 2√14) / 2 x = 1 ± √14

   Таким образом, получаем два решения: x = 1 + √14 и x = 1 - √14.

2. Если выражение внутри модуля (x - 1) меньше нуля (x - 1 < 0), то мы должны изменить знак модуля и записать уравнение как: x^2 - 2(-x + 1) - 15 = 0

   Упрощая: x^2 + 2x + 2 - 15 = 0 x^2 + 2x - 13 = 0

   Решим это уравнение так же, как и в первом случае: x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-13))) / (2 * 1) x = (-2 ± √(4 + 52)) / 2 x = (-2 ± √56) / 2 x = (-2 ± 2√14) / 2 x = -1 ± √14

   Получаем два решения: x = -1 + √14 и x = -1 - √14.

Таким образом, общее решение квадратного уравнения x^2 - 2|x - 1| - 15 = 0 состоит из четырех значений: x = 1 + √14, x = 1 - √14, x = -1 + √14 и x = -1 - √14.