Question

Вычислить (корень из 3/2 +1/i)^18

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{512} (1896481+190638\sqrt{3}i)$

Пошаговое объяснение:

$(\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{1}{i} ) ^1^8=\frac{1}{512} (1896481+190638\sqrt{3}i)$

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением пошагово.

1. Сначала вычислим корень из $\frac{3}{2} + \frac{1}{i}$. Для этого нам нужно преобразовать дробь $\frac{1}{i}$ в более удобную форму:

   $\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = -i$

   Теперь наше выражение становится:

   $\sqrt{\frac{3}{2} - i}$

2. Далее, возводим это выражение в 18-ю степень:

   $\left( \sqrt{\frac{3}{2} - i} \right)^{18}$

3. Мы можем использовать показательную форму записи комплексных чисел для упрощения этого выражения:

   $\sqrt{\frac{3}{2} - i} = \left( \frac{3}{2} - i \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{3}{2} - i \right)^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} = \left( \frac{3}{2} - i \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{3}{2} - i \right)^{\frac{1}{2}}$

   Теперь используем формулу показательной записи:

   $\frac{3}{2} - i = r \cdot e^{i\theta}$

   где $r = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ и $\theta = \arctan{\frac{-1}{\frac{3}{2}}} = -\arctan{\frac{2}{3}}$.

   Теперь возводим в степень:

   $\left( \frac{3}{2} - i \right)^{\frac{1}{2}} = r^{\frac{1}{2}} \cdot e^{i\theta \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{13}}}{2} \cdot e^{-\frac{i\arctan{2/3}}{2}}$

4. Теперь возводим полученное выражение в 18-ю степень:

   $\left( \frac{\sqrt{\sqrt{13}}}{2} \cdot e^{-\frac{i\arctan{2/3}}{2}} \right)^{18} = \left( \frac{\sqrt{\sqrt{13}}}{2} \right)^{18} \cdot e^{-\frac{i\arctan{2/3}}{2} \cdot 18}$