Question

Если z= 2( cos pi/6 + i sin pi/6), нужно найти z^6=?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

zⁿ=rⁿ∙(cos(n∙φ)+i∙sin(n∙φ))

z⁶=2⁶(cos6π/6+isin6π/6)

z⁶=64(cosπ+isinπ) - тригонометр. запись

z⁶=64(-1+i*0)=-64

Answer 2

Для того чтобы найти $z^6$, мы возведем $z$ в шестую степень, используя формулу Эйлера для комплексных чисел:

$z = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Сначала найдем $z^6$:

$z^6 = \left(2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)^6$

Используем свойство возведения комплексного числа в степень:

$(a + bi)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}bi - \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 - \binom{n}{3}a^{n-3}b^3i + \ldots$

Где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент. В данном случае $a = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $b = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$, $n = 6$.

Продолжим раскрывать степень:

$z^6 = 2^6\left(\cos^6\left(\frac{\pi}{6}\right) + \binom{6}{1}\cos^5\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)i - \binom{6}{2}\cos^4\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) - \binom{6}{3}\cos^3\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin^3\left(\frac{\pi}{6}\right)i + \ldots\right)$

Многие члены в последующих слагаемых обратятся в нуль из-за нечетности степеней синуса, и члены с биномиальными коэффициентами могут быть упрощены. Окончательно, у нас останутся только некоторые члены, включая один симметричный по косинусу:

$z^6 = 64\left(\cos^6\left(\frac{\pi}{6}\right) - 15\cos^4\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 15\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin^4\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin^6\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Теперь мы можем использовать известные значения тригонометрических функций для $\frac{\pi}{6}$ (синус и косинус):

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$